§ 10.5. ДЕРЕВЬЯ

Для гетеротической струны деревья строятся практически тем же способом, как и для суперструны в калибровке светового конуса, за исключением того факта, что вершины имеют теперь левые и правые компоненты. Кроме того, мы должны принять во внимание компактификацию на 16-мерную решетку.

Для описания супергравитационного мультиплета введем спинорное поле спина 3/2 и тензор поляризации гравитона На массовой поверхности в калибровке светового конуса мы выберем внешние частицы безмассовыми и поперечными:

По аналогии с введенной в гл. 3 вершиной суперструны в калибровке светового конуса можно ввести вершинные функции для гетеротической струны так же, как введены вершины в (3.9.2), за исключением того, что необходима еще одна вставка дающая дополнительный лоренцев индекс. Кроме того, вершины являются прямым произведением левых и правых вершин. В супергравитационном секторе для вершин, испускающих бозоны и фермионы, мы выберем

где использовали определения из (3.9.6)

(Отметим, что мы выбрали тот базис, в котором к обращается в нуль, что значительно упрощает вычисления. Вычисление при ненулевом является достаточно сложным, поскольку требует выполнения преобразования Лоренца с генераторами нарушающими симметрию.)

Могут быть также выписаны вершинные функции для калибровочных полей. Некоторое усложнение, однако, заключается в том, что 496 векторных полей в присоединенном представлении калибровочной группы могут быть разбиты на 16 «нейтральных» калибровочных бозонов, преобразующиеся как элементы картановской подалгебры, и 480 «заряженных» полей, соответствующих корням Нейтральные поля определены формулой

а заряженные - формулой

Таким образом, для калибровочных бозонов мы должны иметь два типа вершин. Вершины для нейтральных калибровочных полей в сущности те же, что и раньше, следует только заменить лоренцев индекс на внутренний:

где

Можно выписать и вершины испускания заряженных калибровочных частиц, являющиеся функциями внутреннего импульса

где нормально упорядоченная часть вершины возникает из левого сектора, а С мы определим ниже.

Один из способов проверки того, что мы имеем правильный вид вершинных функций, заключается в непосредственном действии на них оператором суперсимметрии (10.3.1), который должен переводить бозонные вершины в фермионные и наоборот. Однако доказательство, аналогичное доказательству, данному в § 3.9, весьма громоздко и потому будет опущено.

Пропагатор для данной системы также может быть легко найден обобщением пропагатора замкнутой струны. Нам представляется удобным устранить из вершинной функции зависимость от и перенести ее в пропагатор. Это всегда может быть сделано, поскольку матрица сдвига по от дается, как мы видели ранее, матрицей , а оператор сдвига по совпадает с гамильтонианом Я в калибровке светового конуса:

До этого устранения от их вершинная функция имеет вид

Мы же хотим получить следующую вершинную функцию:

Пропагатор, который теперь содержит интегрирования по принимает вид

Пропагатор (10.5.10) имеет в точности тот вид, который и следовало ожидать. Дельта-функция просто обеспечивает выполнение связей (10.2.13), что делает состояния не зависящими от сдвигов по а, а полюсы Появляются из-за наличия в знаменателе гамильтониана в калибровке светового конуса.

При этом -точечная функция может быть записана как

Построим теперь амплитуду рассеяния четырех безмассовых калибровочных бозонов с импульсами поляризациями и зарядами

(кликните для просмотра скана)