§ 6. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Евклидово векторное пространство.

Пусть — векторное пространство со скалярным умножением над полем <М действительных чисел. Такое пространство называют также действительным векторным пространством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное пространство над полем <М с положительно определенным скалярным умножением (т. е. а для любого ) называется евклидовым векторным пространством.

ТЕОРЕМА 6.1. Арифметическое векторное пространство над полем со стандартным скалярным умножением является евклидовым.

Доказательство. -арифметическое векторное пространство со стандартным скалярным умножением и — векторы этого пространства. По определению стандартного скалярного умножения, Следовательно, . А так как -действительные числа, то для любого ненулевого вектора а пространства .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическое векторное пространство со стандартным скалярным умножением называется -мерным стандартным евклидовым пространством и обозначается через

Пример. Рассмотрим множество V всех действительных функций одной действительной переменной непрерывных на отрезке [0, 1]. Множество V относительно сложения и умножений на действительные числа является (бесконечномерным) векторным пространством над Формула определяет в V скалярное умножение. Таким образом, получаем евклидово векторное пространство со скалярным умножением.