Поле рациональных чисел.

Введем понятие поля частных области целостности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется полем частных области целостности если выполнены условия:

есть подкольцо поля

для любого из F существуют такие элементы а, b кольца , что

ТЕОРЕМА 5.2. Для любой области целостности существует поле частных. Если и — поля частных кольца , то существует изоморфизм поля на поле переводящий каждый элемент кольца в себя.

Доказательство этой теоремы дано в гл. 13 (см. теоремы 13.21 и 13.22).

Кольцо целых чисел есть область целостности. Следовательно, по теореме 5.2, для кольца существует поле частных и любые два поля частных кольца изоморфны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полем рациональных чисел называется поле частных кольца целых чисел. Элементы поля рациональных чисел называются рациональными числами.

Из определения следует, что любое рациональное число можно представить в виде частного целых чисел.

Отметим, что любое поле, изоморфное полю рациональных чисел, также является полем рациональных чисел.

Отношение порядка на множестве Q рациональных чисел вводится с помощью отношения порядка множестве Z целых чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение множестве Q рациональных чисел определяется следующим образом: для любых двух рациональных чисел где тогда и только тогда, когда

Нетрудно проверить, что множестве Q рациональных чисел является отношением строгого порядка, продолжающим отношение порядка на множестве Z целых чисел.

ТЕОРЕМА 5.3. Бинарное отношение множестве Q рациональных чисел обладает следующими свойствами:

(1) для любых a, b, с из Q, если то

(2) для любых а, b из Q имеет место одно и только одно из трех соотношений:

(3) для любых а, b, с из Q, если

(4) для любых а, b, с из Q, если то

Доказательство теоремы предоставляется читателю.