§ 6. Дальнейший анализ числа V2

В предыдущем параграфе было сделано утверждение о том, что есть алгебраическое число степени 3, т. е. что число К 2, корень уравнения не является корнем никакого уравнения степени 1 или 2 с целыми коэффициентами. Докажем теперь это утверждение.

Для доказательства того, что не является корнем никакого уравнения степени 1 с целыми коэффициентами, мы должны показать, что не существует отличного от нуля целого числа а и целого числа b, для которых

Если бы такие числа существовали, то мы имели бы и, следовательно, число было бы рациональным. Однако, как установлено в следствии 2 из § 3 гл. IV, число иррационально.

Труднее доказать, что не есть корень никакого квадратного уравнения с целыми коэффициентами, т. е. уравнения вида

где а, b, с — целые и а не равно нулю. Предположим, что является корнем такого уравнения, и покажем, что это приводит к противоречию.

Согласно предположению,

или

Возводя обе стороны в квадрат и упрощая, получаем

Два последних равенства можно рассматривать как систему двух уравнений первой степени с «неизвестными» . Эта система уравнений либо разрешима, либо нет в зависимости от того, не пропорциональны или пропорциональны пары коэффициентов .

В случае разрешимости системы, исключая, например, , находим

Тем самым получено противоречие, поскольку число иррационально.

В случае неразрешимости системы коэффициенты обоих уравнений пропорциональны. Это означает, что

и мы опять приходим противоречию. Таким образом доказано, что есть алгебраическое число степени 3.

Упражнения

1. Доказать, что есть алгебраическое число степени

2. Доказать, что есть алгебраическое число степени