СТРУКТУРНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Для определения взаимной зависимости отдельной переменной и дискриминантной функции мы рассмотрим их корреляцию. Эти коэффициенты корреляции называются «полными структурными коэффициентами». Как корреляции они являются косинусами углов между переменными и функцией. Поэтому, зная эти коэффициенты, мы имеем информацию о геометрической структуре пространства наблюдений.

Структурный коэффициент показывает, насколько тесно связаны переменные и дискриминантные функции. Когда абсолютная величина такого коэффициента велика, вся информация о дискриминантной функции заключена в этой переменной. Если же коэффициент близок к нулю — их зависимость мала. Можно дать «имя» дискриминантной функции, исходя из тех коэффициентов, которые максимальны по абсолютной величине.

Если соответствующие переменные измеряют похожие характеристики, то функции можно называть по этим характеристикам.

Например, рассмотрим полные структурные коэффициенты, относящиеся к данным Бардес (табл. 7). Для функции 1 переменные CUTAID и CUTASIAN являются доминантными. Их отрицательные знаки говорят о том, что мы должны дать функции 1 название «за помощь». Для функции 2 полные структурные коэффициенты последних трех переменных имеют наибольшие абсолютные значения. Они относятся к ограничению помощи тем странам, которые не связаны альянсом с США, поэтому мы назовем эту функцию «против помощи государствам, не связанным альянсом». У функции 3 нет преобладающих больших коэффициентов, и она наиболее трудна для интерпретации. Переменные RESTRICT и CUTA1D имеют большие коэффициенты, но с противоположными знаками. Рассматривая расположения групповых центроидов по этой функции, можно получить некоторую дополнительную информацию.

Группы 2 и 4 («против помощи» и «антикоммунисты») расположены в положительном направлении; группа 3 («против помощи государствам, испытывающим финансовые затруднения») — в отрицательном направлении; группа 1 («за помощь иностранным государствам») — между ними. Поэтому функция 3 служит для различия всевозможных типов оппозиции к функции 1 («за помощь иностранным государствам»).

Таблица 7. Структурные коэффициенты

Структурные коэффициенты, рассматриваемые здесь, основаны на понятии корреляции. Их полезно использовать при классификации групп. Однако иногда интересно узнать, как дискриминантные функции связаны с переменными в пределах отдельной группы. Таким образом, мы приходим к так называемым «внутригрупповым структурным коэффициентам», которые вычисляются следующим образом:

где — внутригрупповые структурные коэффициенты для переменной i и функции — внутригрупповые структурные коэффициенты корреляции между переменными i и — стандартизованные коэффициенты канонической функции для переменной k и функции

В табл. 8 представлены внутригрупповые структурные коэффициенты, относящиеся к данным Бардес. Заметим, что эти коэффициенты меньше, чем описанные выше структурные коэффициенты, однако их расположения от больших к меньшим схожи (хотя и не идентичны).

Такое положение является типичным, но не обязательным. Некоторые из внутригрупповых структурных коэффициентов могут быть больше или меньше, или иметь противоположный знак по сравнению со структурными коэффициентами. Кроме того, они могут иметь различный порядок расположения. Эти две последовательности коэффициентов относятся к разным сторонам структуры данных. Поэтому и не следует их интерпретировать одинаково, за исключением тех случаев, когда групповые центроиды совпадают:

Таблица 8. Внутригрупповые структурные коэффициенты

Структурные коэффициенты дают информацию, несколько отличную от той, которая относится к стандартизованным коэффициентам. Стандартизованные коэффициенты показывают вклад переменных в значение дискриминантной функции. Это является одним из подходов к определению значимости переменной. Однако этот подход имеет серьезное ограничение. Если две переменных сильно коррелированы, то их вклад в дискриминантное значение должен разделяться, даже при значительном совместном вкладе. Соответственно их стандартизованные коэффициенты могут быть меньше по сравнению с теми случаями, когда используется одна из этих переменных. Или, другими словами, вклад одного коэффициента частично погашается отрицательным вкладом другого. Это происходит из-за того, что в стандартизованных коэффициентах одновременно принимается во внимание влияние всех переменных.

С другой стороны, структурные коэффициенты являются просто двуместными корреляциями, поэтому на них не влияют взаимные зависимости прочих переменных. Заметим, что CUTAID имеет небольшой стандартизованный коэффициент по функции 1, но относительно большой полный структурный коэффициент.

Возможно, это объясняется сильной корреляцией между переменными CUTAID и CUTASIAN (0,787). Поэтому переменная CUTASIAN дает большой отрицательный вклад в дискриминантные значения, а переменная CUTAID — небольшой положительный вклад. Структурные коэффициенты также помогают распознать вклад переменных ANTIYUGO и ANTINEUT в функцию 1. Эти две переменные имеют довольно малые структурные коэффициенты, т. е. они мало коррелируют с этой функцией. Функция 1 отличается от той, что мы получаем из стандартизованных коэффициентов, которые довольно велики и имеют противоположные знаки. Переменные ANTIYUGO и ANTINEUT сильно кор-релированы (0,767), поэтому они дают большие вклады в противоположные направления и погашают друг друга. Анализ подобных ситуаций приводит нас к выводу, что структурные коэффициенты позволяют лучше интерпретировать канонические и дискриминантные функции, чем стандартизованные коэффициенты.

В работе (Overall and Klett, 1972; 292—295) описывается, как структурные коэффициенты могут использоваться для графического представления различия между групповыми центроидами в случае двух канонических дискриминантных функций. На графике с осями, которые относятся к этим двум функциям, представлены групповые центроиды и главный центроид, изображены векторы, исходящие из главного центроида и направленные в каждую дискриминантную переменную. Направляющие углы этих векторов вычисляются, исходя из структурных коэффициентов. Длина вектора определяется межгрупповыми и внутригрупповыми вариациями соответствующей переменной.

Полученная диаграмма дает наглядное представление о различиях групп с помощью дискриминантных переменных, а также о потенциальных возможностях этих переменных.