д. РАНГ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ И ОСИ КООРДИНАТ

Ранг матрицы был уже выше определен как наибольшее число линейно независимых строк или столбцов. Ранг редуцированной корреляционной матрицы определялся как число содержащихся в ней общих факторов.

Рассмотрим ранг редуцированной корреляционной матрицы с геометрической точки зрения. Общие факторы представлены в факторной структуре осями координат, наложенными на конфигурацию векторов. Из теоремы, в соответствии с которой ранг редуцированной корреляционной матрицы равен числу общих факторов, вытекает, что ранг редуцированной корреляционной матрицы равен числу осей координат. Так как в соответствии с предположением о независимости векторов каждая ось должна быть перпендикулярна ко всем остальным осям, ранг корреляционной матрицы будет соответствовать размерности пространства, необходимой для размещения факторной структуры.

Отсюда вытекает ряд интересных следствий. До сих пор мы использовали пример факторной структуры с двумя ортогональными, или взаимно перпендикулярными факторами. Этот случай простой, так как он изображается на плоскости. Если после анализа какой-либо корреляционной матрицы получается факторная матрица F с тремя столбцами, соответствующими трем некоррелированным общим факторам, то нужно вычертить трехмерную систему координат, состоящую из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов. Каждая переменная, представленная соответствующим вектором, характеризуется теперь тремя факторами, так как она дает проекции на три оси координат, соответствующие трем факторам.

В практике встречаются еще более сложные случаи. Когда изучается большая совокупность психологических, социологических или каких-либо других переменных, весьма часто получается множество корреляций, которые не удается объяснить даже при помощи трех факторов. Данная совокупность переменных может характеризоваться влиянием четырех, пяти или большего числа факторов, которые нужно выделить при помощи факторного анализа. Редуцированная корреляционная матрица будет иметь ранг, превышающий 3. Как в этом случае будет выглядеть система векторов и можно ли ее представить на графике? Этот вопрос является камнем преткновения особенно для тех психологов и социологов, которые не знакомы с математикой и понятием «-мерного пространства (гиперплоскостью). Постараемся показать, что ситуация не настолько трудна, как это может показаться с первого взгляда.