Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Интерпретация по Штаудту самосопряженных мнимых образов.Идея Штаудта заключается прежде всего в следующем. Он рассматривает вместо кривой второго порядка соответствующую ей полярную систему, о которой мы уже говорили выше (с. 170), т. е. взаимно двойственное соответствие, изображаемое уравнением
В силу действительности коэффициентов оно представляет собой исключительно действительное соотношение, относящее каждой действительной точке некоторую действительную прямую независимо от того, будет ли сама кривая действительной или нет. Но полярная система со своей стороны вполне определяет кривую как совокупность точек, лежащих на своих собственных полярах, причем каждый раз остается открытым вопрос о том, существуют ли такие точки в действительной области. Во всяком случае полярная система всегда является действительным представителем определяемой уравнением кривой второго порядка, и оказывается целесообразным поставить этого представителя во главу исследования вместо заданной нам кривой. Пересекая нашу кривую осью
и всегда приводит во взаимное соответствие по две действительные точки. Точками пересечения оси Они могут быть действительными или мнимыми, но во всяком случае вопрос о них представляет лишь второстепенный интерес, а на первый план выдвигается опять-таки полярное соответствие, как всегда, являющееся действительным представителем этих точек. Каждые две точки Хотя эти рассуждения, которые могут быть, конечно, непосредственно перенесены на три измерения, и не дают еще истолкования мнимых элементов, но зато — это касается образов второго порядка — установлена общая точка зрения, стоящая выше разделения на действительные и мнимые элементы. Каждый образ второго порядка изображается некоторой действительной полярной системой, и с этими полярными системами можно оперировать геометрически точно так же, как аналитически — с действительными уравнениями этих образов. Поясним это на примере. Пусть дана некоторая кривая второго порядка, т. е. в силу предыдущего некоторая полярная система на плоскости; присоединим к ней еще одну какую-нибудь прямую. Здесь непосредственная интуиция подсказывает нам возможность очень многих различных случаев в зависимости от того, имеет ли вообще кривая действительные точки или нет и перекается ли она в первом случае с прямою в действительных точках или нет. Но во всяком случае наша плоская полярная система определяет на прямой g (рис. 91) некоторую линейную полярную систему, т. е. некоторую инволюцию: каждой точке Р прямой g соответствует поляра
Рис. 91
Рис. 92 Этим мы выразили в геометрических терминах как раз то, к чему мы пришли в начале наших разъяснений, исходя из уравнений. Применим теперь эти рассуждения, в частности, к мнимым циклическим точкам и к окружности сфер. Выше мы сказали, что две произвольные окружности пересекают бесконечно удаленную прямую в одних и тех же двух точках, а именно, в циклических точках; геометрически это будет теперь означать, что полярные системы этих окружностей образуют на бесконечно удаленной прямой одну и ту же одномерную полярную систему, т. е. приводят к одной и той же инволюции. В самом деле, если проведем (ср. с. 90) касательные к какой-нибудь окружности Из бесконечно удаленной точки Р, то поляра Итак, полярные системы всех окружностей образуют в пересечении с бесконечно удаленной прямой — таков наш результат — одну у ту же полярную систему, так называемую «абсолютную инволюцию», причем точки каждой пары этой последней, рассматриваемые из любой конечной точки, всякий раз видны в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Переведем эти рассуждения на язык анализа. Исходя из однородного уравнения окружности
или
получаем соответствующее полярное соответствие
отсюда мы получим соответствие, устанавливаемое на бесконечно удаленной прямой, если примем
Эти уравнения действительно не зависят от констант Совершенно аналогичные соотношения имеют место для сфер в пространстве. Все они создают на бесконечно удаленной плоскости одно и то же так называемое абсолютное полярное соответствие, задаваемое уравнениями
а так как из первого из этих уравнений следует, что направления Это дает нам действительный геометрический эквивалент теорем о мнимой окружности в бесконечности.
|
1 |
Оглавление
|