Интерпретация по Штаудту самосопряженных мнимых образов.

Идея Штаудта заключается прежде всего в следующем. Он рассматривает вместо кривой второго порядка соответствующую ей полярную систему, о которой мы уже говорили выше (с. 170), т. е. взаимно двойственное соответствие, изображаемое уравнением

В силу действительности коэффициентов оно представляет собой исключительно действительное соотношение, относящее каждой действительной точке некоторую действительную прямую независимо от того, будет ли сама кривая действительной или нет. Но полярная система со своей стороны вполне определяет кривую как совокупность точек, лежащих на своих собственных полярах, причем каждый раз остается открытым вопрос о том, существуют ли такие точки в действительной области. Во всяком случае полярная система всегда является действительным представителем определяемой уравнением кривой второго порядка, и оказывается целесообразным поставить этого представителя во главу исследования вместо заданной нам кривой.

Пересекая нашу кривую осью , т. е. полагая равными нулю, совершенно аналогично получаем на этой оси некоторое одномерное всегда действительное полярное соответствие, которое задается уравнением

и всегда приводит во взаимное соответствие по две действительные точки.

Точками пересечения оси с кривой являются обе точки, соответствующие каждая самой себе в этом полярном соответствии, его так называемые основные точки.

Они могут быть действительными или мнимыми, но во всяком случае вопрос о них представляет лишь второстепенный интерес, а на первый план выдвигается опять-таки полярное соответствие, как всегда, являющееся действительным представителем этих точек.

Каждые две точки взаимно сопряженные в одномерном полярном соответствии, называют парой точек «инволюции» — выражение, введенное в XVII в. Дезаргом; при этом различают два главных типа таких инволюций в соответствии с тем, являются ли основные, точки действительными или мнимыми, и промежуточный случай, в котором они совпадают. Но для нас здесь главным является само понятие инволюции; различение же отдельных случаев, т. е. вопрос о природе корней квадратного уравнения, имеет лишь второстепенный интерес.

Хотя эти рассуждения, которые могут быть, конечно, непосредственно перенесены на три измерения, и не дают еще истолкования мнимых элементов, но зато — это касается образов второго порядка — установлена общая точка зрения, стоящая выше разделения на действительные и мнимые элементы. Каждый образ второго порядка изображается некоторой действительной полярной системой, и с этими полярными системами можно оперировать геометрически точно так же, как аналитически — с действительными уравнениями этих образов.

Поясним это на примере.

Пусть дана некоторая кривая второго порядка, т. е. в силу предыдущего некоторая полярная система на плоскости; присоединим к ней еще одну какую-нибудь прямую. Здесь непосредственная интуиция подсказывает нам возможность очень многих различных случаев в зависимости от того, имеет ли вообще кривая действительные точки или нет и перекается ли она в первом случае с прямою в действительных точках или нет.

Но во всяком случае наша плоская полярная система определяет на прямой g (рис. 91) некоторую линейную полярную систему, т. е. некоторую инволюцию: каждой точке Р прямой g соответствует поляра , а эта последняя пересекается с g в некоторой точке Р; точки (Р, Р) и пробегают ту инволюцию, о которой идет речь. Дополнительно можно поставить вопрос об основных точках этой инволюции, о том, будут ли они действительными или мнимыми.

Рис. 91

Рис. 92

Этим мы выразили в геометрических терминах как раз то, к чему мы пришли в начале наших разъяснений, исходя из уравнений.

Применим теперь эти рассуждения, в частности, к мнимым циклическим точкам и к окружности сфер. Выше мы сказали, что две произвольные окружности пересекают бесконечно удаленную прямую в одних и тех же двух точках, а именно, в циклических точках; геометрически это будет теперь означать, что полярные системы этих окружностей образуют на бесконечно удаленной прямой одну и ту же одномерную полярную систему, т. е. приводят к одной и той же инволюции. В самом деле, если проведем (ср. с. 90) касательные к какой-нибудь окружности Из бесконечно удаленной точки Р, то поляра этой последней, будучи линией соединения точек касания касательных, исходящих из Р, оказывается перпендикулярной их общему направлению (рис. 92). А так как все прямые, проходящие через одну и ту же бесконечно удаленную точку, параллельны между собой, то и поляра той же точки Р, взятая по отношению к какой-нибудь другой окружности, будет перпендикулярна тому же самому направлению, что и , а значит, параллельна прямой ; другими словами, в свою очередь пересекают бесконечно удаленную прямую в одной и той же точке Р.

Итак, полярные системы всех окружностей образуют в пересечении с бесконечно удаленной прямой — таков наш результат — одну у ту же полярную систему, так называемую «абсолютную инволюцию», причем точки каждой пары этой последней, рассматриваемые из любой конечной точки, всякий раз видны в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Переведем эти рассуждения на язык анализа. Исходя из однородного уравнения окружности

или

получаем соответствующее полярное соответствие

отсюда мы получим соответствие, устанавливаемое на бесконечно удаленной прямой, если примем

Эти уравнения действительно не зависят от констант , характеризующих исходную окружность. К тому же, как учит аналитическая геометрия, две прямые, идущие к точкам оказываются в силу первого из этих уравнений взаимно перпендикулярными, так что мы действительно снова приходим к высказанной выше теореме.

Совершенно аналогичные соотношения имеют место для сфер в пространстве. Все они создают на бесконечно удаленной плоскости одно и то же так называемое абсолютное полярное соответствие, задаваемое уравнениями

а так как из первого из этих уравнений следует, что направления взаимно перпендикулярны, то каждой бесконечно удаленной точке Р соответствует при этом та бесконечно удаленная прямая, щторая высекается (на бесконечно удаленной плоскости) плоскостью, перпендикулярной идущему к Р направлению.

Это дает нам действительный геометрический эквивалент теорем о мнимой окружности в бесконечности.