4.4.2. Периодические решения
Чтобы найти границы, разделяющие области существования устойчивых и неустойчивых решений, необходимо отыскать чисто периодические решения. В самом общем случае эта задача в математическом отношении достаточно сложна, однако некоторые особенно интересные периодические решения могут быть найдены из физических
соображений. Если движение является периодическим, то энергия осциллятора должна принимать одно и то же значение в моменты времени, отделенные одно от другого полным периодом. Так как в каждом из интервалов 1 и 2 рассматриваемая система консервативна, т. е. ее энергия сохраняется, изменения энергии могут происходить лишь при скачкообразном изменении длины нити. Это изменение энергии составляет
Первое слагаемое соответствует изменению потенциальной энергии, а второе — изменению кинетической энергии. Величина 
положительна, когда нить укорачивается (при подъеме массы), и отрицательна, когда нить удлиняется. Периодические решения возможны в том случае, когда в пределах периода выполняется равенство
где индексы Н и S означают подъем и спуск соответственно. Это условие безусловно выполняется, если имеют место равенства
т. е. если подъем или спуск массы происходит в моменты времени, характеризуемые одинаковыми значениями угла отклонения 
и угловой скорости 
Рис. 132. Фазовые траектории возможных периодических движений математического маятника при параметрическом возбуждении.
Иначе говоря, фазовые траектврии движения должны быть симметричными. Два возможных случая приведены на рис. 132.
Как легно проверить, можно задаться произвольной многопериодической формой движения, в которой либо в течение одного периода происходит четное число скачков, либо между двумя последовательными скачками проходит один или несколько полных периодов. Мы не будем рассматривать здесь такую проблему в общем виде, а ограничимся лишь тем, что дополним полученные выше результаты, относящиеся к маятнику типа качелей. Этот случай точно соответствует обеим формам движения, представленным на рис. 132, и поэтому мы исследуем их более подробно.
В силу симметрии фазовых траекторий достаточно рассмотреть лишь один квадрант фазовой плоскости, например первый квадрант.
Как показано в увеличенном масштабе на рис. 133, фазовые траектории состоят из двух участков, движение вдоль которых происходит за четверть периода. Эти два участка фазовой траектории соединены вертикальным отрезком, который соответствует скачкообразному изменению длины маятника: спуску массы маятника (а) или ее подъему (б).
Рис. 133. Первый квадрант рис. 132 в увеличенном масштабе.
Предполагается, что оба скачка происходят мгновенно, или, точнее говоря, в течение интервала времени, пренебрежимо малого по сравнению с периодом 
изменения параметра. Теперь можно построить амплитудно-частотную характеристику для рассматриваемого типа движения на основании требования, что при соединении двух участков траектории посредством скачка (на котором должны выполняться условия перехода (4.59) получается вся та часть фазовой траектории, которая лежит в данном квадранте.
