Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
К главе 7Доказательство теоремы 7.2.1. Поскольку
имеем
Кроме того, справедливо представление Крамера
Из этого следует, что
Наконец, по формуле Парсеваля имеем
откуда вытекает (7.2.7). Доказательство следствия 7.2.1. Положим
Если вариацию функции
В то же время
Из соотношений
Разобьем область интегрирования на две:
Во второй области
Поэтому из
Это приводит к нужному результату, если учесть, что Доказательство следствия 7.2.2. Мы легко получим его, рассмотрев по порядку случаи Доказательство теоремы 7.2.3. В теореме 4.4.2 показано, что
где
Доказательство теоремы 7.2.4 вытекает из теоремы 4.4.1 так же, как теорема 7.2.3 следовала из теоремы 4.4.2. Доказательство теоремы 7.2.5. Оно получается непосредственно из упр. 4.8.23 и теоремы Д 5.1. Доказательство теоремы 7.3.1. Из упр. 7.10.21 следует соотношение
для целых
приводящее к (7.3.6). Если
что приводит к (7.3.7). Если же
и мы получим (7.3.8). Доказательство следствия 7.3.1. В силу того что (а) является равномерно ограниченной функцией а, выражение Доказательство теоремы 7.3.2. Если
С учетом того факта, что для
это дает (7.3.13) в случае
и, как нетрудно проверить, это приводит к (7.3.13). Доказательство теоремы 7.3.3. Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 7.2.4 и теоремы Д 5.1. Доказательство теоремы 7.3.4 вытекает непосредственно из теоремы 7.2.1 и ее следствия. Доказательство теоремы 7.3.5. Псевдосглаживающие множители
обладают для
Далее, основное выражение в доказательстве теоремы 7.2.2 при подходящем изменении определений показывает, что
Это приводит к (7.3.18). Доказательство теоремы 7.3.6 вытекает непосредственно из теоремы 7.2.5 и теоремы Д 5.1. Доказательство теоремы 7.4.1. По теореме 7.2.1 для
Это дает первое выражение в (7.4.9). Приступая к доказательству второго равенства, заметим, что правая часть приведенного выше соотношения имеет вид
где в силу упр. 1.7.10 член
Второй член в правой части может быть сделан сколь угодно малым с помощью разбиения области суммирования на сегмент, где Для соотношения (7.4.11) по теореме 4.3.2 имеем
с равномерным по s остаточным членом. Это дает первую часть (7.4.11). Вторая следует из леммы Д 5.1. Доказательство теоремы 7.4.2 получается с помощью разложения Доказательство теоремы 7.4.3. Из выражения (7.2.14) следует
с равномерным по
дающему первое выражение в (7.4.15); второе вытекает из леммы Д 5.1. Доказательство следствия 7.4.3 получается непосредственно из последней части соотношения (7.4.15). Доказательство теоремы 7.4.4. Нами уже изучалось асимптотическое поведение первых и вторых моментов оценок. Для того чтобы доказать асимптотическую совместную нормальность, остается показать, что в указанных условиях все нормированные совместные семиинварианты порядка выше второго стремятся к 0 при Мы имеем
Положим варианты в последнем соотношении задаются выражением
где суммирование производится по всем неразложимым разбиениям
Наличие функций
Поэтому
имеет порядок Доказательство теоремы 7.6.1. Из теоремы 4.3.1 для
с равномерным по s остаточным членом. Это сразу приводит к первому выражению в (7.6.6); второе получается по лемме Д 5.1. Далее, из теоремы 4.3.2 следуют соотношения (см. скан) дающие (7.6.7). Для семиинвариантов более высоких порядков мы, пренебрегая нижними индексами, получим следующее соотношение: (см. скан) где внутреннее суммирование производится по всем неразложимым разбиениям таблицы
Принимая во внимание линейные ограничения, обусловленные функциями Далее, рассматривая переменные Доказательство теоремы 7.6.2. Воспользуемся разложением в ряд Тейлора
для вывода (7.6.15) и (7.6.16) из (7.4.13) и (7.4.17) и применим теоремы из Brillinger, Tukey (1964). Утверждение об асимптотической нормальности следует из теоремы 7.4.4 и теоремы Д. 5.2. Доказательство теоремы 7.6.3. Мы уже видели в теореме
так что достаточно рассмотреть процесс
где
Нетрудно убедиться, что
Из теоремы 7.6.1 видно, что все вторые моменты величин
где
Далее, если
Это дает нужный результат. Прежде чем мы приступим к доказательству теоремы 7.7.1, отметим, что в силу инвариантности оценки относительно сдвига можно действовать так же, как в случае Лемма
Тогда равномерно по и
Доказательство. Положим
Теперь из теорем 5.2.3 и 5.2.8 получаем, поскольку
Из рассуждений в этих теоремах следует также, что равномерно по и
Отсюда вытекает соотношение
дающее нужный результат. Лемма Д 7.2. Предположим, что выполнены условия теоремы. Допустим, что
тогда равномерно по К
Доказательство получается непосредственно из леммы Д 7.1 и того факта, что
Доказательство теоремы 7.7.1. Лемма Д 7.2 показывает, что асимптотики для
где
По теореме 4.3.2
поэтому
что дает (7.7.13). Далее, по теореме 7.2.2
Покажем теперь, что равномерно по
Поскольку
можно записать
где по лемме
Подобный результат справедлив и для второго слагаемого исходного интеграла. Вычисленная таким образом ковариация имеет вид
откуда и следует нужное соотношение (7.7.14). Далее, рассмотрим величины совместных семиинвариантов порядка К. Пренебрегая с этого момента нижними индексами а, b, имеем
Далее,
где суммирование ведется по всем неразложимым разбиениям
Поскольку разбиения неразложимы, в каждом множестве
для некоторого конечного М, где
мы увидим, что семиинвариант
В предпоследней строке выражения величин
для Доказательство следствия 7.7.1 следует непосредственно из (7.7.13). Доказательство теоремы 7.7.2 вытекает непосредственно из теоремы 4.5.1. Доказательство теоремы 7.7.3. Мы докажем эту теорему посредством нескольких лемм, аналогичных леммам, использованным при доказательстве теоремы 4.5.1. Как следует из леммы Д 7.2, достаточно рассмотреть статистику
Лемма Д 7.3. Если выполнены условия теоремы, то для выбранных
Доказательство. При доказательстве теоремы 7.7.1 мы видели, что для некоторого конечного М
Поэтому
Теперь указанный результат вытекает из (7.7.21) при выборе
В рассуждениях ниже положим
Следствие. Если выполнены условия теоремы, то при заданном
для достаточно больших Т. Лемма Д 7.4. Пусть
для некоторого конечного Доказательство. Заметим сначала, что, поскольку функция Лемма Д 7.5. При достаточно больших
Лемма Д 7.6. Пусть
Доказательство теоремы завершается доказательством аналогичных лемм для Доказательство теоремы 7.7.4. Положим
Пусть
Как следует из упр. 3.10.28, последний интеграл здесь имеет порядок что Доказательство теоремы 7.7.5. Для положительных целых k имеем неравенство
Из теоремы 7.4.4 следует, что равномерно по
Поэтому
Выбрав k достаточно большим, мы получим оба результата теоремы. Доказательство теоремы 7.9.1. Как следует из леммы Д 6.3 и теоремы 4.4.2, справедливы соотношения:
где
Вычислив ковариации, мы убедимся, что
В упр. 4.8.7 показано, что
и, еще раз обратившись к упр. 4.8.7, заключаем, что
|
1 |
Оглавление
|