ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Формы
круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта,
и диск Луны. Математики стали заниматься геометрической фигурой - кругом на
плоскости - очень давно.
Кругом
с центром
и
радиусом
называется
множество точек плоскости, удаленных от
на расстояние, не большее
. Круг ограничен
окружностью, состоящей из точек, удаленных от центра
в точности на расстояние
. Отрезки,
соединяющие центр с точками окружности, имеют длину
и также называются
радиусами (круга, окружности). Части круга, на которые он делится двумя
радиусами, называются круговыми секторами (рис. 1). Хорда - отрезок,
соединяющий две точки окружности, - делит круг на два сегмента, а окружность – на
две дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее и
стягиваемые ею дуги пополам. Хорда тем длиннее, чем ближе она расположена к
центру; самые длинные хорды - хорды, проходящие через центр, - называются
диаметрами (круга, окружности).
Рис. 1
Рис. 2
Если
прямая удалена от центра круга на расстояние
, то при
она не пересекается с кругом, при
пересекается с
кругом по хорде и называется секущей, при
имеет с кругом и окружностью
единственную общую точку и называется касательной. Касательная характеризуется
тем, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. К кругу из
точки, лежащей вне его, можно провести две касательные, причем их отрезки от
данной точки до точек касания равны.
Дуги
окружности, как и углы, можно измерять в градусах и его долях. За градус
принимают
часть
всей окружности. Центральный угол
(рис. 3) измеряется тем же числом
градусов, что и дуга
, на которую он опирается; вписанный
угол
измеряется
половиной дуги
.
Если вершина
угла
лежит
внутри круга, то этот угол в градусной мере равен полусумме дуг
и
(рис. 4,а). Угол с
вершиной
вне
круга (рис. 4,б), высекающий на окружности дуги
и
, измеряется полуразностью дуг
и
. Наконец, угол
между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги
окружности (рис. 4,в).
Рис. 3
Рис. 4
Круг
и окружность имеют бесконечное множество осей симметрии.
Из
теорем об измерении углов и подобия треугольников следуют две теоремы о
пропорциональных отрезках в круге. Теорема о хордах говорит, что если точка
лежит внутри
круга, то произведение длин отрезков
проходящих через нее хорд постоянно.
На рис. 5,a
.
Теорема о секущей и касательной (имеются в виду длины отрезков частей этих
прямых) утверждает, что если точка
лежит вне круга, то произведение
секущей
на
ее внешнюю часть
тоже
неизменно и равно квадрату касательной
(рис. 5,б).
Рис. 5
Еще
в древности пытались решить задачи, связанные с кругом, - измерить длину
окружности или ее дуги, площадь круга или сектора, сегмента. Первая из них
имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а
потом развернуть ее и приложить к линейке или же отметить на окружности точку и
«прокатить» ее вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность).
Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности
к ее диаметру
одно и то же для
всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой
(«пи» - начальная
буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность»).
Однако
древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению
длины окружности не удовлетворял: окружность - это линия, т.е., по Евклиду,
«длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы катим окружность по
линейке, то возникает вопрос: почему при этом мы получим длину окружности, а не
какую-нибудь другую величину? К тому же такой подход не позволял определить
площадь круга.
Выход
был найден такой: если рассмотреть вписанные в круг
правильные
-угольники
, то при
, стремящемся к
бесконечности,
в
пределе стремятся к
. Поэтому естественно ввести
следующие, уже строгие, определения: длина окружности
- это предел
последовательности периметров
правильных вписанных в окружность
-угольников, а
площадь круга
-
предел последовательности
их площадей. Такой подход принят и в
современной математике, причем по отношению не только к окружности и кругу, но
и к другим кривым или ограниченным криволинейными контурами областям: вместо
правильных многоугольников рассматривают последовательности ломаных с вершинами
на кривых или контурах областей, а предел берется при стремлении длины
наибольшего звена ломаной к нулю.
Аналогичным
образом определяется длина дуги окружности: дуга делится на
равных частей, точки
деления соединяются ломаной и длина дуги
полагается равной пределу периметров
таких ломаных при
, стремящемся к
бесконечности. (Подобно древним грекам, мы не уточняем само понятие предела - оно
относится уже не к геометрии и было вполне строго введено лишь в XIX в.)
Из самого определения числа
следует формула
для длины окружности:
.
Для
длины дуги можно записать аналогичную формулу: поскольку для двух дуг
и
с общим
центральным углом из соображений подобия вытекает пропорция
, а из нее - пропорция
, после перехода к
пределу мы получаем независимость (от радиуса дуги) отношения
. Это отношение
определяется только центральным углом
и называется радианной мерой этого
угла и всех отвечающих ему дуг с центром в
. Тем самым получается формула для
длины дуги:
,
где
- радианная
мера дуги.
Записанные
формулы для
и
- это
всего лишь переписанные определения или обозначения, но с их помощью получаются
уже далекие от просто обозначений формулы для площадей круга и сектора:
,
.
Для
вывода первой формулы достаточно перейти к пределу в формуле для площади
вписанного в круг правильного
-угольника:
.
По
определению левая часть стремится к площади круга
, а правая - к числу
(апофема
,
конечно, стремится к
). Совершенно аналогично выводится и
формула для площади сектора
:
(
- читается
«предел»). Тем самым решена и задача определения площади сегмента с хордой
, ибо она
представляется как разность или сумма (рис. 1, 2) площадей соответствующих
сектора и треугольника
.
ОКРУЖНОСТЬ
ДЕВЯТИ ТОЧЕК
У
каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек.
Это - окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение
которых определено для треугольника (рис. 1): основания его высот
и
, основания его
медиан
и
,
середины
и
отрезков
прямых от точки пересечения его высот
до его вершин.
Рис. 1
Эта
окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также
называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем
провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был
родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах
выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с
геометрией любого данного треугольника. Это - точки ее касания с четырьмя
окружностями специального вида (рис. 2). Одна из этих окружностей вписанная,
остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются
внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти
точек
и
называются точками
Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности
окружностью тринадцати точек.
Рис. 2
Окружность
эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр
окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной
около треугольника окружности с точкой
- его ортоцентром (точка пересечения
его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине
радиуса описанной около него окружности.