1.5. Компенсационный подход при оценивании межкадровых пространственных деформаций

Исследуем обоснованность определения параметров ПД на основе минимизации ошибок прогноза наблюдений изображения по наблюдениям изображения . Эту задачу можно рассматривать как задачу минимизации остатков компенсации поэтому такие оценки ПД можно условно назвать компенсационными.

Рассмотрим условия получения компенсационных оценок. Пусть поле - гауссовское, однородное, имеет нулевое среднее и КФ

где - коэффициент корреляции поля на расстоянии по времени и на расстоянии по пространственной оси. Шум в модели наблюдений (1.4) также будем предполагать гауссовским с нулевым средним и постоянной дисперсией. По наблюдениям в узлах прямоугольной сетки

с единичным шагом и наблюдениям в узлах некоторой сетки требуется оценить параметры а ПД кадров и .

Для приведенных условий и модели (1.4) задача нахождения оптимальной оценки параметров преобразования системы координат в общем виде рассмотрена в разделе 1.2. Если для определенности выбрать оси сетки совпадающими с осями координат, в которых задана КФ (1.35), то гауссовская совместная ПРВ кадра и его наблюдений может быть легко найдена из (1.4) и (1.35). При заданном векторе параметров а положение сетки относительно становится определенным и возможно нахождение совместной условной ПРВ наблюдений. Оценка МП а максимизирует при имеющихся наблюдениях за счет минимизации функционала

где - ковариационная матрица наблюдений Отметим, что нахождение точки максимума представляет трудоемкую вычислительную задачу, решение которой в системах реального времени весьма затруднительно.

Функционал определяет расстояние выборки до начала координат при ковариационной матрице оценка (1.36) это расстояние минимизирует. Рассмотрим функционал подробнее. В работе [13] показано, что

где - оптимальный (в данном случае - линейный) прогноз наблюдений в точку; - ошибки этого прогноза (остатки компенсации в точку); - диагональная матрица дисперсий ошибок . При использовании прогноза в область [13] (использовании прогноза наблюдений по наблюдениям ) можно получить другое представление:

где - ошибки прогноза ; - ковариации ошибок ; - прогноз по - ковариации ошибок прогноза . Отметим,

что выбор вида представления для синтеза квазиоптимальных алгоритмов определяется условиями конкретной задачи.

Экспериментальные исследования показывают, что качество оценок полученных минимизацией остатков компенсации , или , лишь незначительно уступает оценкам, полученным минимизацией функционала . Выбор вида остатков компенсации определяется также условиями решаемой задачи. Например, если задачей оценивания ПД является последующая оптимальная компенсация очередного кадра по предыдущему кадру удобнее всего использовать . Тогда из условия минимизации среднего квадрата межкадровой разности получаем оценку

Дальнейшая конкретизация этой оценки достигается применением различных прогнозов . При этом может быть использован как оптимальный прогноз, так и различные интерполяции наблюдений определенных только на сетке . Обоснованность компенсационных оценок подтверждает также анализ уравнений фильтрации марковских сдвигов . Действительно, уравнение (1.27) показывает, что поправка к экстраполированной оценке сдвигов прямо пропорциональна рассогласованию -. Следовательно, происходит оптимизация прогноза или минимизация остатков компенсации очередного кадра наблюдений к при специальном выборе прогноза, вид которого определяется исходя из заданных моделей изображений и деформаций.

Заметим, что, строго говоря, компенсационные оценки оценивают не сами параметры межкадровых только оптимизируют выбранную компенсацию в смысле некоторой метрики. Однако при удачном выборе функции прогноза компенсационный подход может обеспечивать достаточно эффективные оценки, в том числе и для негауссовских полей. На основе этого подхода разработано большое количество квазиоптимальных неадаптивных алгоритмов измерения межкадровых параллельных сдвигов двумерных изображений ряд из которых рассмотрен во второй главе.