Главная > Теория вероятностей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами

В предыдущем  мы рассмотрели вопросы, связанные с кодированием и передачей информации по каналу связи в идеальном случае, когда процесс передачи информации осуществляется без ошибок. В действительности этот процесс неизбежно сопровождается ошибками (искажениями). Канал передачи, в котором возможны искажения, называется каналом с помехами (или шумами). В частном случае ошибки возникают в процессе самого кодирования, и тогда кодирующее устройство может рассматриваться как канал с помехами.

Совершенно очевидно, что наличие помех приводит к потере информации. Чтобы в условиях наличия помех получить на приемнике требуемый объем информации, необходимо принимать специальные меры. Одной из таких мер является введение так называемой «избыточности» в передаваемые сообщения; при этом источник информации выдает заведомо больше символов, чем это было бы нужно при отсутствии помех. Одна из форм введения избыточности - простое повторение сообщения. Таким приемом пользуются, например, при плохой слышимости по телефону, повторяя каждое сообщение дважды. Другой общеизвестный способ повышения надежности передачи состоит в передаче слова «по буквам» - когда вместо каждой буквы передается хорошо знакомое слово (имя), начинающееся с этой буквы.

Заметим, что все живые языки естественно обладают некоторой избыточностью. Эта избыточность часто помогает восстановить правильный текст «по смыслу» сообщения. Вот почему встречающиеся вообще нередко искажения отдельных букв телеграмм довольно редко приводят к действительной потере информации: обычно удается исправить искаженное слово, пользуясь одними только свойствами языка. Этого не было бы при отсутствии избыточности. Мерой избыточности языка служит величина

,             (18.9.1)

где  - средняя фактическая энтропия, приходящаяся на один передаваемый символ (букву), рассчитанная для достаточно длинных отрывков текста, с учетом зависимости между символами,  - число применяемых символов (букв),  - максимально возможная в данных условиях энтропия на один передаваемый символ, которая была бы, если бы все символы были равновероятны и независимы.

Расчеты, проведенные на материале наиболее распространенных европейских языков, показывают, что их избыточность достигает 50% и более (т. е., грубо говоря, 50% передаваемых символов являются лишними и могли бы не передаваться, если бы не опасность искажений).

Однако для безошибочной передачи сведений естественная избыточность языка может оказаться как чрезмерной, так и недостаточной: все зависит от того, как велика опасность искажений («уровень помех») в канале связи.

С помощью методов теории информации можно для каждого уровня помех найти нужную степень избыточности источника информации. Те же методы помогают разрабатывать специальные помехоустойчивые коды (в частности, так называемые «самокорректирующиеся» коды). Для решения этих задач нужно уметь учитывать потерю информации в канале, связанную с наличием помех.

Рассмотрим сложную систему, состоящую из источника информации , канала связи  и приемника  (рис. 18.9.1).

Рис. 18.9.1.

Источник информации представляет собой физическую систему , которая имеет  возможных состояний

с вероятностями

.

Будем рассматривать эти состояния как элементарные символы, которые может передавать источник  через канал  к приемнику . Количество информации на один символ, которое дает источник, будет равно энтропии на один символ:

.

Если бы передача сообщений не сопровождалась ошибками, то количество информации, содержащееся в системе  относительно , было бы равно самой энтропии системы . При наличии ошибок оно будет меньше:

.

Естественно рассматривать условную энтропию  как потерю информации на один элементарный символ, связанную с наличием помех.

Умея определять потерю информации в канале, приходящуюся на один элементарный символ, переданный источником информации, можно определить пропускную способность канала с помехами, т. е. максимальное количество информации, которое способен передать канал в единицу времени.

Предположим, что канал может передавать в единицу времени  элементарных символов. В отсутствие помех пропускная способность канала была бы равна

,                (18.9.2)

так как максимальное количество информации, которое может содержать один символ, равно , а максимальное количество информации, которое могут содержать  символов, равно , и оно достигается, когда символы появляются независимо друг от друга.

Теперь рассмотрим канал с помехами. Его пропускная способность определится как

,                  (18.9.3)

где  - максимальная информация на один символ, которую может передать канал при наличии помех.

Определение этой максимальной информации в общем случае - дело довольно сложное, так как она зависит от того, как и с какими вероятностями искажаются символы; происходит ли их перепутывание, или же простое выпадение некоторых символов; происходят ли искажения символов независимо друг от друга и т. д.

Однако для простейших случаев пропускную способность канала удается сравнительно легко рассчитать.

Рассмотрим, например, такую задачу. Канал связи  передает от источника информации  к приемнику  элементарные символы 0 и 1 в количестве  символов в единицу времени. В процессе передачи каждый символ, независимо от других, с вероятностью  может быть искажен (т. е. заменен противоположным). Требуется найти пропускную способность канала.

Определим сначала максимальную информацию на один символ, которую может передавать канал. Пусть источник производит символы 0 и 1 с вероятностями  и .

Тогда энтропия источника будет

.

Определим информацию  на один элементарный символ:

.

Чтобы найти полную условную энтропию , найдем сначала частные условные энтропии:  (энтропию системы  при условии, что система  приняла состояние ) и  (энтропию системы  при условии, что система  приняла состояние ). Вычислим , для этого предположим, что передан элементарный символ 0. Найдем условные вероятности того, что при этом система  находится в состоянии  и в состоянии . Первая из них равна вероятности того, что сигнал не перепутан:

;

вторая - вероятности того, что сигнал перепутан:

.

Условная энтропия  будет:

.

Найдем теперь условную энтропию системы  при условии, что  (передан сигнал единица):

,

откуда

.

Таким образом,

.                       (18.9.4)

Полная условная энтропия  получится, если осреднить условные энтропии  и  с учетом вероятностей  и  значений . Так как частные условные энтропии равны, то

.

Мы получили следующий вывод: условная энтропия  совсем не зависит от того, с какими вероятностями  встречаются символы 0; 1 в передаваемом сообщении, а зависит только от вероятности ошибки .

Вычислим полную информацию, передаваемую одним символом:

,

где  - вероятность того, что на выходе появится символ 0. Очевидно, при заданных свойствах канала информация на один символ  достигает максимума, когда  максимально. Мы знаем, что такая функция достигает максимума при , т. е. когда на приемнике оба сигнала равновероятны. Легко убедиться, что это достигается, когда источник передает оба символа с одинаковой вероятностью . При том же значении  достигает максимума и информация на один символ. Максимальное значение равно

.

Следовательно, в нашем случае

,

и пропускная способность канала связи будет равна

.                         (18.9.5)

Заметим, что  есть не что иное, как энтропия системы, имеющей два возможных состояния с вероятностями  и . Она характеризует потерю информации на один символ, связанную с наличием помех в канале.

Пример. 1. Определить пропускную способность канала связи, способного передавать 100 символов 0 или 1 в единицу времени, причем каждый из символов искажается (заменяется противоположным) с вероятностью .

Решение. По таблице 7 приложения находим

,

,

.

На один символ теряется информация 0,0808 (дв. ед). Пропускная способность канала равна

двоичные единицы в единицу времени.

С помощью аналогичных расчетов может быть определена пропускная способность канала и в более сложных случаях: когда число элементарных символов более двух и когда искажения отдельных символов зависимы. Зная пропускную способность канала, можно определить верхний предел скорости передачи информации по каналу с помехами. Сформулируем (без доказательства) относящуюся к этому случаю вторую теорему Шеннона.

 

2-я теорема Шеннона

 

Пусть имеется источник информации , энтропия которого в единицу времени равна , и канал с пропускной способностью . Тогда если

,

то при любом кодировании передача сообщений без задержек и искажений невозможна. Если же

,

то всегда можно достаточно длинное сообщение закодировать так, чтобы оно было передано без задержек и искажений с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.

Пример 2. Имеются источник информации с энтропией в единицу времени  (дв. ед.) и два канала связи; каждый из них может передавать в единицу времени 70 двоичных знаков (0 или 1); каждый двоичный знак заменяется противоположным с вероятностью . Требуется выяснить: достаточна ли пропускная способность этих каналов для передачи информации, поставляемой источником?

Решение. Определяем потерю информации на один символ:

 (дв. ед.).

Максимальное количество информации, передаваемое по одному каналу в единицу времени:

.

Максимальное количество информации, которое может быть передано по двум каналам в единицу времени:

 (дв. ед.),

чего недостаточно для обеспечения передачи информации от источника.

 

1
Оглавление
email@scask.ru