649. Механические приложения.

Естественно, что все геометрические и механические величины, связанные с распределением масс в пределах некоторого тела ( в пространстве, в принципе выражаются на этот раз тройными интегралами, распространенными на тело (К). Здесь также проще всего пользоваться принципом «суммирования бесконечно малых элементов» [ср. 348-356 и 598].

Обозначим через плотность распределения масс в произвольной точке тела (V); она является функцией от координат точки; эту функцию мы будем всегда предполагать непрерывной. Суммируя элементы массы для величины всей массы будем иметь

Исходя из элементарных статических моментов

найдем самые статические моменты:

а по ним — и координаты центра тяжести:

В случае однородного тела, получаем проще:

Сами собой понятны и формулы для моментов инерции относительно осей координат:

или относительно координатных плоскостей:

Наконец, пусть массы, заполняющие тело (V), оказывают притяжение на точку (массы 1) по закону Ньютона. Сила притяжения со стороны элемента массы имеет на оси координат проекции

где

есть расстояние элемента (или точки, в которой мы считаем сосредоточенной его массу) от точки А. Суммируя, для проекций полной силы притяжения на оси координат получим

Аналогично определяется и потенциал нашего тела на точку:

Если точка А лежит вне тела, то все эти интегралы оказываются собственными. В этом случае можно дифференцировать интеграл по любой из переменных под знаком интеграла на основании соображений, сходных с теми, которыми мы пользовались в отношении простых интегралов 1507]. В результате мы и получим, что

В случае же, когда точка А сама принадлежит телу (V), в этой точке и подинтегральные функции в (17) и (18) вблизи нее перестают быть ограниченными. Ниже [663] будет показано, что эти интегралы, как несобственные, все же существуют, и для них выполняются основные соотношения (19).