694. Примеры.

Во всех задачах сходимость предложенных рядов предоставляется установить читателю.

1) Просуммировать ряды:

Решение. Здесь

так что

Отсюда

2) Просуммировать ряды

Указание. Функция равна

в случаях (а), она равна

в случаях (в), (г). Использовать разложения синуса и косинуса от комплексного аргумента на вещественную и мнимую части [359]:

Ответ.

3) Просуммировать ряды:

(а), (б). Решение. Соответствующий этим случаям ряд

непосредственно не дает известной нам элементарной функции, но если, использовав очевидное равенство

преобразовать его следующим образом:

то, вспоминая логарифмический ряд [459], легко уже найдем, что

Подставим теперь сюда Имеем:

так что (для ) модуль этого выражения есть а аргумент

Окончательно,

Отсюда для —

(в) — (з). Указание. Во всех случаях, используя соответственно равенства

свести дело к логарифмическому ряду.

Ответ,

[По поводу (в) — (е) ср. 690, 21).]

4) Просуммировать ряд:

Указание,

Ответ. Ограничиваясь промежутком , имеем

5) Просуммировать ряды:

Указание. Используя разложения

«на простые дроби», свести дело к .

Ответ,

в обоих случаях для .

6) Просуммировать ряды:

(а), (б). Решение. Составив ряд

узнаем в нем разложение арктангенса:

которое имеет место для исключая

Положим здесь ограничиваясь промежутком , но исключая Имеем:

так что модуль этого выражения есть , а аргумент равен или в зависимости от того, будет ли или . Следовательно,

и

Итак,

и для тех же значений х

(в) Указание. Сочетая только что полученный результат с результатом упражнения 4), найдем:

7) Просуммировать ряды:

Решение. Для случаев (а) и (б):

[459]. Далее, для

Это легко проверить, установив, что синус выражения справа действительно равен Впрочем, нетрудно и вывести это выражение, найдя и, из уравнений

Итак,

Для случаев (в) и получается ряд:

[460]. Отсюда для