741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона—Абеля.

Пусть снова означает функцию с периодом абсолютно интегрируемую в любом конечном промежутке. Рассмотрим ее ряд Фурье

и при произвольном фиксированном х применим к нему метод обобщенного суммирования Пуассона — Абеля [418]. С этой целью умножим члены этого ряда по порядку на где и составим ряд

Так как коэффициенты при стремятся к нулю [656], то они ограничены в их совокупности:

так что ряд (4) мажорируется просто прогрессией и заведомо сходится.

Чтобы облегчить исследование поведения его суммы при представим ее в виде интеграла. Если заменить в (4) коэффициенты их интегральными выражениями

то получим сначала

а затем

Переход этот мотивируется ссылкой на следствие, установленное в п° 510: равномерно (относительно сходящийся ряд в фигурных скобках, по умножении его членов на абсолютно интегрируемую функцию, можно интегрировать почленно. Так как сумма упомянутого ряда нам известна [см., например, 741, 2)]:

то окончательно приходим к такому выражению:

Этот замечательный интеграл, называемый интегралом Пуассона (S. D. Poisson), играет важную роль во многих вопросах анализа. Фактически и ряд (4) и интеграл (5), к которому этот ряд приводится, были рассмотрены Пуассоном задолго до появления идеи «обобщенного суммирования», но рассуждения автара не были достаточно строгими. Точную теорию интеграла Пуассона дал Шварц (Н. A. Schwarz).

Теорема. Пусть для функции в рассматриваемой точке х существуют пределы справа и слева Тогда

В частности, в точке непрерывности этот предел равен

Если же функция везде непрерывна, то стремится к равномерно относительно х.

Доказательство. Преобразуя интеграл Пуассона (5) так же, как мы в свое время преобразовали интеграл Дирихле [681], получим:

Желая применить к этому интегралу лемму предыдущего п°, мы положим

а в качестве ядра возьмем функцию

(ядро Пуассона). Здесь роль параметра X играет область его изменения есть промежуток [0, 1), а Покажем, что функция Ф удовлетворяет всем требованиям, предъявленным в предыдущем п° к положительному ядру.

Прежде всего [см. требование 1°]. Действительно, при числитель дроби (8), очевидно, положителен; то же заключение легко сделать и о знаменателе, если представить его в виде

Если, далее, положить в то и и мы получаем, что

т. е. выполняется требование 2°. Наконец, при (если число 8 произвольно выбрано между будет так что [см. (9)]

Отсюда

Очевидно, при (и фиксированном 8); выполнено и требование 3°.

В таком случае на основании упомянутой леммы имеем

что и требовалось доказать.

Пусть теперь функция будет везде непрерывна. Тогда она необходимо ограничена: а вместе с этим и

Кроме того, ввиду равномерной непрерывности функции выражение

стремится при к своему пределу равномерно относительно х. Этим на основании дополнительного замечания предыдущего п° оправдывается и заключительное утверждение теоремы.

Итак, доказанная теорема учит, что в точке х, где функция непрерывна или, в крайнем случае, имеет разрыв первого рода, ряд Фурье (3) суммируем по методу Пуассона — Абеля, причем «обобщенной суммой» ряда оказывается

смотря по случаю.

Замечание. Если функция первоначально была задана лишь в промежутке то, переходя обычным образом [687] к периодической функции, легко усмотрим, что для все остается по-старому, а для пределом интеграла Пуассона, или «обобщенной суммой» ряда, будет