754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле).

Как увидим в дальнейшем, чаще всего приходится поступаться предположением, что для каждой пары элементов рассматриваемого множества установлен порядок, и довольствоваться тем, что такой порядок установлен (с соблюдением условий I и II) лишь для некоторых пар. В подобных случаях, однако, мы будем требовать еще выполнения такого условия:

III) для любых двух элементов множества в этом множестве найдется элемент следующий за обоими

[При этом безразлично, установлен ли порядок для самих элементов Р и Р или нет.]

Это условие само по себе уже делает невозможным существование в последнего элемента.

Легко видеть, что всякое множество, упорядоченное в собственно» смысле, если только оно лишено последнего элемента, необходимс удовлетворяет и условию III. Действительно, каковы бы ни было элементы Р и Р из для них в данном случае порядок установлен; пусть, скажем, . Так как Р — не последний элемент то в найдется элемент ; по транзитивному свойству отношения одновременно и , что и требовалось доказать.

Если хотя бы для некоторых пар элементов множества устано влен порядок, с соблюдением всех трех условий I, II, III, мы также будем называть множество упорядоченным (в обобщенно» смысл ).

Приведем теперь примеры таких множеств.

3) Рассмотрим множество вещественных чисел х, для которого а служит точкой сгущения [52]; пусть само число а при этом не принадлежит

Условимся считать, что

так что следующим будет то из значений, которое ближе к а.

Требования I, II явно соблюдены. Если в не встречается значений х, равноотстоящих от а, но лежащих по разные стороны от а, то множество будет упорядочено в собственном смысле. Если же такие пары значений имеются, то для них нашим соглашением, очевидно, порядок не будет установлен.

Проверим теперь выполнение требования III. Возьмем любые числа из Так как они оба отличны от а, и а служит для точкой сгущения, то в необходимо найдется такое которое будет ближе к а, чем тогда

Таким образом, множество во всяком случае является упорядоченным в обобщенном смысле.

4) Пусть будет числовое множество с точкой сгущения Его можно упорядочить с помощью условия

Все требования I, II, III выполнены. Если в нет пар значений х, разнящихся лишь знаками, то множество будет упорядочено в собственном смысле. Если же такие пары имеются, то для них порядок не установлен, и можно говорить об упорядоченности лишь в обобщенном смысле.

5) Возьмем теперь любое множество точек двумерного пространства с точкой сгущения Предположим, что обе координаты а и конечны; пусть точка множеству не принадлежит.

Установим соглашение, что

если

Подобно 3), все требования I, II, III здесь выполнены. Проверим, например, условие III. Пусть даны две точки из так как обе они отличны от то

и

Пусть будет наименьшим из этих чисел; ввиду того, что для

служит точкой сгущения, в найдется такая точка что . А тогда

что и требовалось доказать. Итак, установленным соглашением множество действительно упорядочено (в обобщенном смысле).

Если какая-либо из координат точки скажем а, равна то можно модифицировать наше соглашение, например, заменив на - и т. д.

6) Приведем в виде примера еще другие способы упорядочения множества о котором была только что речь (а и считаем конечными).

Можно условиться так:

если

или же так:

если

Предлагаем читателю проверить соблюдение в обоих случаях требований I, II, III.

7) Пусть есть множество «целочисленных» точек , где — натуральные числа, с точкой сгущения . Аналогично 5), это множество можно упорядочить по правилу

Проще — такой закон упорядочения:

И здесь требования I, II, III соблюдены.

8) Возьмем теперь примеры из другой области. Пусть элементами рассматриваемого множества будут всевозможные разбиения данного промежутка на конечное число частей с помощью точек деления

Если через X обозначить наибольшую из длин этих частей, то естественно расположить различные разбиения в порядке убывания X; то из разбиений будет следующим, которому отвечает меньшее X.

Соблюдение условий I, II очевидно. Легко проверяется и условие III: каковы бы ни были два разбиения, отвечающие значениям X и X, всегда можно осуществить разбиение на еще более мелкие части, которому отвечало бы число меньшее и X и X.

Множество таким образом, оказывается упорядоченным, но лишь в обобщенном смысле: для двух различных разбиений с одним и тем же X порядок не установлен.

9) Для рассмотренного только что множества можно установить порядок другим соглашением: разбиение следует за разбиением если оно получено из добавлением к его точкам деления еще новых точек деления. Это также приводит к упорядочению лишь в обобщенном смысле: порядок не установлен, например, для двух разбиений имеющих сплошь различные точки деления.