581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.

Рассмотрим интеграл

предполагая функцию непрерывной и положительной, лишь нотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

выражает некоторую кривую (К), вообще говоря, разрывную (рис.

32). Если при некотором функция испытывает скачок, так что то этим предельным значениям отвечает одно и то же предельное значение равное Дополним кривую (К) всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек

отвечающие всем скачкам функции (см. рис.). Таким образом, составится уже непрерывная кривая Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой осью х и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам

Рис. 32.

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси х — на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения функции промежутке составим нижнюю и верхнюю суммы Стилтьеса—Дарбу

Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует [336], что наша фигура квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (20).