598. Механические приложения.

Все геометрические и механические величины, связанные с плоским непрерывным распределением масс вдоль некоторой фигуры (Р) и представляющие аддитивные функции области, в принципе выражаются двойными интегралами, распространенными на эту фигуру. В п° 593 мы уже подробно останавливались на этом вопросе. В частности, мы видели, что сама величина распространенной массы выражается по заданной плотности распределения

Здесь мы имеем в виду дать краткие указания относительно того, как обычно получают формулы подобного типа. Порядок идей здесь тот же, что и при применении простого определенного интеграла [см. 348].

Выделяя элементарную часть фигуры (Р), делают упрощающее выкладки предположение, — например, что масса всего элемента сосредоточена в одной точке или что плотность распределения масс в пределах элемента постоянна, — которое позволяет дать для элемента искомой величины приближенное выражение вида

верное до бесконечно малой порядка, высшего чем Тогда точное значение выразится формулой

Обосновать это можно двояко (как и в 348).

Прежде всего, суммируя приближенные выражения для элементов можно получить приближенное же значение величины в виде интегральной суммы, а переходя к пределу — точное значение уже в виде предела суммы, т. е. интеграла.

С другой стороны, самое выражение для элемента позволяет заключить, что есть «производная по области» величины (в точке ), а отсюда, в силу изложенного в п° 593, снова вытекает тот же результат.

Легко сообразить, например, что элементарные статические моменты и моменты инерции относительно осей координат будут

отсюда для самих моментов сразу получаем

Теперь обычным образом получаются координаты центра тяжести фигуры:

В случае однородной фигуры: эти формулы упрощаются:

В отдельных простых случаях удается с помощью двойных интегралов исчерпать подобные же вопросы по отношению к телам, именно — к цилиндрическим брусам.

Пусть дан такой брус, ограниченный поверхностью ее проекцией (Р) на плоскость и проектирующим цилиндром, образующие которого параллельны оси Если, например, требуется определить статический момент Мху однородного бруса (для простоты предположим объемную плотность равной единице), то мы представляем себе этот брус состоящим из ряда элементарных столбиков, с основанием и высотой Статический момент столбика относительно плоскости равен его массе или — что в данном случае то же — объему умноженному на расстояние его центра тяжести от этой плоскости, т. е. на Итак, элементарный статический момент есть

откуда, суммируя по всем столбикам, получаем

Аналогично могут быть установлены и формулы

Отсюда легко получить выражение для координат центра тяжести бруса:

Точно так же выводятся и формулы для моментов инерции бруса относительно оси относительно плоскостей координат:

причем ясно, что

Если бы пространственная плотность распределения масс, не сводясь к постоянной, зависела бы лишь от х, у (т. е. все же вдоль столбика была бы постоянной), то по-прежнему можно было бы обойтись двойным интегралом. Однако, в общем случае, при зависимости и от двойного интеграла уже было бы недостаточно и пришлось бы обратиться к тройному интегралу [см. 649].