622. Случай кусочно-гладкой поверхности.
Развитые в п° 620 идеи дают также удобное средство для распространения понятия стороны поверхности на случай кусочно-гладкой поверхности. Соображения, изложенные в. п° 618, в этом случае непосредственно неприложимы, так как вдоль «ребер», соединяющих гладкие куски поверхности, определенной касательной плоскости не существует, и при переходе через них о непрерывном изменении направления нормали говорить не приходится.
Пусть дана кусочно-гладкая поверхность 
состоящая из гладких кусков 
примыкающих один к другому по ребру —
общей части их контуров. Предположим прежде всего, что каждый из этих кусков в отдельности является двусторонней поверхностью. Но этого, разумеется, недостаточно для того, чтобы всю поверхность 
можно было рассматривать, как двустороннюю; ведь и поверхность Мёбиуса легко составляется из двух гладких двусторонних кусков.
Рис. 85.
На контуре 
каждого куска 
выберем в качестве положительного одно из двух направлений; этим, как мы видели, фиксируется сторона поверхности 
. Если этот выбор можно произвести так, чтобы всегда общая часть двух примыкающих контуров описывалась в обоих случаях в противоположных направлениях (рис. 85), то лишь тогда поверхность 
является двусторонней. Сторона поверхности 
определится, как совокупность сторон ее частей, выбранных указанным образом.
Если хоть в одном случае направление обхода контура заменить на противоположное, то для соблюдения нашего условия придется то же сделать и со всеми контурами. Тогда и выбранные стороны всех кусков 
заменятся противоположными им; их совокупность составит вторую сторону поверхности.
Рис. 86.
Для того чтобы освоиться с установленными соглашениями, предлагается читателю: 1) осуществить их на примере поверхности куба (рис. 86), подобрав надлежащие направления обхода контуров всех шести составляющих плоских кусков,
2) дать себе отчет в том, какие затруднения встретились бы, если бы попытаться то же сделать для поверхности Мебиуса, разложенной на два или более двусторонних куска, и, наконец, 3) показать, что данное выше определение стороны не зависит от того, на какие гладкие куски разложена поверхность.
