629. Примеры.

1) Найти площадь участка поверхности, вырезаемого:

а) цилиндром из гиперболического параболоида ,

(б) цилиндром из эллиптического параболоида

(в) цилиндром из гиперболического параболоида ;

(г) цилиндром из сферы

(а) Решение. Имеем так что по формуле (5)

Переходя к полярным координатам, найдем

(б) Указание. Воспользоваться обобщенными полярными координатами.

Ответ:

(в) Указание. Перейти к полярным координатам. Уравнение направляющей цилиндра в полярных координатах будет Получим

Подстановка

Ответ.

Ответ.

2) Найти площадь частей сферы вырезанных из нее цилиндром (верхнего и нижнего оснований «тела Вивиани», см. 597, 20), рис. 48).

Решение. Имеем для верхнего основания

и, следовательно,

причем областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью

Переходя к полярным координатам, получим [ср. 611, 6)]:

Выполняя интегрирование, окончательно найдем

Так как площадь поверхности полусферы равна то площадь той части полусферы, которая остается по выделении «тела Вивиани», будет равна и, следовательно, выражается через радиус без привлечения каких-либо иррациональностей; ср. в связи с этим замечание, сделанное п° 597, 20) по поводу формулы для объема «тела Вивиани».

Замечание. Конечно, можно было бы и не заменять интеграл по промежутку удвоенным интегралом по промежутку . Но, вычисляя сразу интеграл от до нужно помнить, что выражение внутреннего интеграла

нам придется писать в одном виде: для , и в другом: (ибо радикал всегда положителен, а синус имеет в одном случае знак плюс, а в другом знак минус). Не приняв этого во внимание, получили бы неправильный результат.

3) Найти площадь: (а) части поверхности конуса за лежащей внутри цилиндра части поверхности конуса , заключенной между плоскостями (в) части той же поверхности, лежащей внутри сферы

Указание.

(в) Пересечение поверхностей лежит в плоскостях Далее,

4) Доказать, что площадь любой фигуры, лежащей на одной (скажем верхней) полости конуса вращения

пропорциональна площади ее проекции на плоскость

Указание. Исходить из явного уравнения и воспользоваться формулой (5).

5) Дана поверхность найти площадь ее части, содержащейся между плоскостями

Решение. Имеем

Область интегрирования определяется условиями

Сделаем подстановку тогда для новых переменных промежутками изменения будут

Таким образом,

6) Найти площадь поверхности цилиндра заключенной внутри сферы (боковую поверхность «тела Вивиани»).

Решение. Уравнение передней части поверхности . Область изменения независимых переменных ограничена осью и параболой . Так как

то

Рис. 92.

7) Найти площадь боковой поверхности конуса высоты с, основанием которого служит эллипс с полуосями высота проходит через центр основания.

Решение. Если начало координат взять в вершине конуса и плоскость провести параллельно основанию (рис. 92), то уравнение поверхности будет

и искомая площадь

где (Е) есть эллипс

и для краткости положено

Переходя к обобщенным полярным координатам, получим

Результат легко приводится к полному эллиптическому интегралу второго рода:

8) Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси

Решение. Нетрудно сообразить, что уравнение поверхности вращения будет

а уравнение верхней половины ее

Отсюда

Таким образом, искомая площадь выражается интегралом

где область на плоскости ограничена линиями

Переходя к повторному интегралу, найдем

и так как внутренний интеграл равен , то получается уже известная нам формула [344, (22)]:

Как читатель, вероятно, и сам заметил, в задачах 2) — 8) мы все время имели дело с теми особыми случаями вычисления площадей, о которых была речь в п° 628.

9) Решить задачу 2), используя параметрическое представление сферической поверхности через сферические координаты:

По матрице производных

легко найти гауссовы коэффициенты сферы:

Ограничимся рассмотрением четверти изучаемой поверхности, лежащей в первом октанте. Для точек «кривой Вивиани», т. е. кривой пересечения сферы и цилиндра (в пределах первого октанта), будет

Действительно, подставляя выражения х и у через и 0 в уравнение цилиндра получим и так как для рассматриваемых точек, очевидно, то отсюда и следует, что

Установив, на основании сказанного, пределы изменения параметров и , получим по формуле (3

Как видим, мы пришли к известному уже результату, избежав на этот раз разрывов подинтегральной функции.

10) Рассмотрим так называемую общую винтовую поверхность [229, 5)], которая описывается кривою

(расположенной в плоскости при винтовом движении ее вокруг оси z и вдоль оси Уравнения ее (если угол поворота обозначить через будут:

По матрице производных

составляем гауссовы коэффициенты поверхности:

Таким образом, выражение

оказывается зависящим только от k, что, вообще говоря, упрощает вычисления.

11) Воспользоваться этими результатами для определения площади части

(а) обыкновенной винтовой поверхности

вырезанной из нее цилиндром и плоскостями (так что );

(б) винтовой поверхности

отвечающей изменению параметров в прямоугольнике

(а) Решение. В данном случае

так что

(б) Ответ.

12) Если в задаче о винтовом движении кривой положить так что поступательное движение отсутствует, то получится поверхность вращения:

Тогда

и площадь этой поверхности выразится формулой

Эта формула обобщает результат задачи 8), но не потребовала введения несобственных интегралов. [Ср. 344, (21).]

13) Оправдать выведенную в формулу для площади части цилиндрической поверхности, исходя из общей формулы (3*).

14) Иногда бывает удобно задавать поверхность в полярных или сферических координатах , которые с обыкновенными прямоугольными координатами связаны известными формулами:

При этом предполагается, что полярный радиус-вектор задан в виде функции от углов :

(полярное уравнение поверхности). Найти выражение площади кривой поверхности для этого случая.

Решение. Можно воспользоваться общим выражением (3*), но лишь в качестве параметров взять и . Написанные выше формулы как раз и дают параметрическое представление поверхности, если мыслить, что вместо подставлено его выражение через и из полярного уравнения поверхности. По матрице производных

легко составить

Таким образом, окончательно имеем

где есть область изменения аргументов .

Элемент площади в сферических координатах будет таков:

15) Вычислить площадь поверхности

Решение. Здесь как раз удобно использовать формулу (9). Полярное уравнение поверхности:

Рис. 93.

Тогда

и по формуле (9) получим

16) Рассмотрим сферическую поверхность

радиуса касающуюся в начале координат плоскости Требуется найти площадь ее части, содержащейся внутри конуса с вершиной в начале (рис. 93).

Решение. Воспользуемся и здесь формулой (9), исходя из полярного уравнения сферы: . Имеем

где область интегрирования по и в ограничена кривою

Если свести дело к определению площади той части поверхности, которая лежит в первом октанте, то при любом 0 между и угол изменяется от 0 до угла для которого

Очевидно,

Но

и окончательно

Любопытно, что эта площадь совпадает с площадью эллипса, имеющего полуосями хорды и (см. рисунок).

17) Доказать, что площадь поверхности

совпадает с площадью поверхности эллипсоида

если взять

Доказательство. В сферических координатах уравнение поверхности:

и по формуле (9) площадь ее равна

С другой стороны, если исходить из обычного параметрического представления эллипсоида:

то определители матрицы производных окажутся равными

и по формуле (3) площадь поверхности эллипсоида выразится так:

Мы видим, что выражения для действительно отождествляются, если положить

или

что и требовалось доказать.

18) Определим теперь площадь поверхности трехосного эллипсоида:

Переписав для первого октанта уравнение поверхности в явном виде:

будем иметь:

так что

Положим для краткости

тогда искомая площадь выразится, по формуле (5), интегралом

Путем подстановки преобразуем его к виду:

Желая использовать здесь формулу преобразования двойного интеграла, принадлежащую Каталану [см. 597, 15) и 617, 16)], заметим, что кривая

есть не что иное, как эллипс

так что четверть его площади

Тогда, по формуле Каталана,

Займемся преобразованием этого эллиптического интеграла.

Прежде всего проинтегрируем по частям

Затем выполним подстановку

изменяя до 0. Тогда, с одной стороны,

если положить . С другой же,

так что интеграл под знаком двойной подстановки представится в виде

Интегрируя в первом члене по частям, последовательно преобразуем это выражение так:

Затем объединяем оба внеинтегральных члена:

Двойная подстановка от до 0 дает для этого выражения такой результат: Учитывая двойную подстановку и для Интегралов, окончательно получим формулу

данную впервые Лежандром. Здесь

19) Гаусс ввел для поверхностей понятие полной кривизны в данной точке, совершенно аналогичное понятию кривизны для плоских кривых [250].

Пусть дана поверхность и на ней точка. Возьмем любую часть поверхности, окружающую эту точку, и рассмотрим всю совокупность нормалей в различных точках Описав вокруг начала сферу радиусом единица, станем проводить из начала лучи, параллельные упомянутым нормалям; они вырежут на поверхности сферы некоторую ее часть (2). Площадь ее есть мера телесного угла, заполненного всеми проведенными лучами; это — аналог угла о котором была речь в определении, данном в п° 250. Предел отношения при стягивании в данную точку и называется полной кривизной поверхности в этой точке. Поставим себе задачей вычислить его. Предположим, что поверхность задана уравнением

причем функция имеет непрерывные производные первого и второго порядков

и, кроме того, определитель

отличен от нуля (в рассматриваемой точке и вблизи нее).

По формуле (50) имеем

где — проекция — проекция на плоскость угол же для соответствующих точек обеих поверхностей один и тот же.

Преобразуем второй интеграл к переменным х, у. Так как, очевидно,

то

Если учесть еще (10), то окончательно получим

В таком случае по формуле замены переменных:

Дифференцируя как так и по области (D) [593], легко получить теперь, что

Это и есть искомое выражение для полной кривизны.

20) Формула (56) может быть весьма просто получена, если исходить — для случая явного задания поверхности — из другого определения площади кривой поверхности.

Разложим поверхность на части в соответствии с этим ее проекция (D) на плоскость разложится на части . В некоторой точке площадки проведем к поверхности касательную плоскость и спроектируем площадку на эту плоскость параллельно оси Обозначая через площадь полученной плоской фигуры, очевидно, будем иметь

если есть угол нормали к поверхности в точке с осью Если под площадью поверхности разуметь предел суммы площадей именно этих плоских фигур, то сразу придем к результату

поскольку написанная сумма явно представляет собой интегральную сумму для последнего интеграла.

Подчеркнем, что измененное определение площади кривой поверхности, хотя и весьма просто приводит здесь к окончательной формуле, имеет существенный недостаток: оно формально связано с выбором координатного триедра (проектирование параллельно оси и приложимо лишь к частному типу поверхностей.

21) Пусть от параметрического задания

гладкой поверхности с помощью формул

мы переходим к другому ее представлению

в котором она также не имеет особенностей. Легко показать непосредственно, что формула (3) для площади поверхности преобразуется при этом в аналогичную же формулу

(все величины, относящиеся к новому представлению, мы отмечаем звездочками).

Действительно, полагая

имеем по известному свойству функциональных определителей

Отсюда, между прочим, ясно, что I в (Д отлично от нуля, ибо иначе поверхность в новом представлении имела бы особенности. Теперь по формуле замены переменных сразу получаем

что и требовалось доказать.