11. Задача многих частиц.

С помощью изложенных выше представлений о статистической корреляции можно показать, как применить волновое уравнение к системе, состоящей более чем из одной частицы. Как уже указывалось в в присутствии многих частиц волновая функция является функцией координат всех частиц. Чтобы показать, как можно определить вероятность для такой системы, рассмотрим сначала частный случай двух независимых частиц. Пусть волновая функция первой из них будет а второй — Вероятность того, что первая частица находится между равна

в то время как вероятность того, что вторая частица находится между равна

Поскольку эти вероятности независимы, вероятность того, что первая частица находится между а вторая частица — между равна, как показано в п. 3, произведению отдельных вероятностей, т. е.

Этот результат подсказывает естественное обобщение математического аппарата теории на случай двух частиц. Итак, мы пришли к определению волновой функции, зависящей от координат обеих частиц,

вероятность же равна

Поэтому, когда две частицы независимы, волновые функции сами по себе, так же как и их вероятности, выражаются как произведение функций каждой переменной в отдельности.

Задача 9. Доказать, что если по отдельности нормированы, то их произведение также нормировано (при интегрировании по

Однако если между двумя частицами действуют силы, то распределение вероятностей перестает быть независимым. Так, например, если одна из частиц — электрон, а другая — протон, то они будут притягиваться и стремятся образовать атом водорода. В этом случае наиболее вероятно, что частицы будут находиться гораздо ближе друг к другу, чем они должны были бы быть в среднем при случайном распределении. Чтобы учесть эту возможность, запишем общую плотность вероятности в виде При этих условиях волновая функция уже не должна выражаться произведением, так что ее следует записать в виде Однако формула для вероятности остается

Легко показать, что с такими определениями математический аппарат операторов и средних значений остается точно таким же, как и в случае одной частицы.

В качестве примера получим волновое уравнение для двух взаимодействующих частиц. Волновая функция имеет вид где это координата х первой частицы, второй частицы и т. д. В соответствии с обобщением на случай двух частиц (см. правило, данное в гл. 9, п. 27) оператор Гамильтона имеет вид

где полная потенциальная энергия обеих частиц. Она включает энергию взаимодействия между двумя частицами наряду с другими источниками потенциальной энергии. Например, если каждая частица имеет заряд то

где

Уравнение Шрёдингера принимает вид

Поскольку И — линейный оператор, уравнение также линейное. Это — уравнение волны в шестимерном пространстве, и в общем случае его очень трудно решить. Совершенно ясно, как обобщить уравнение на произвольное число частиц. Хотя эти уравнения зачастую очень трудно решить, но существуют различные приближенные методы, и был получен ряд решений различных задач для многих частиц, которые удовлетворительно согласуются с опытом. Итак, в принципе мы получили метод изучения произвольной системы. Это означает, что во всех случаях волновое уравнение играет такую же основную роль в квантовой теории, как ньютоновские законы движения в классической теории.