Прямые итерации одного вектора
3. Простейшее применение степенного метода таково. Пусть
произвольный вектор, и пусть последовательности векторов
определяются уравнениями
здесь и в дальнейшем мы используем обозначение
для максимального по модулю элемента вектора х. Очевидно, мы имеем
и если мы положим, что
то, с точностью до нормирующего множителя,
имеет вид
Если
то, предполагая
получим
Следовательно, этот процесс дает одновременно доминирующее собственное значение и соответствующий собственный вектор. Если
близко к единице, то сходимость будет очень медленная.
Если существует несколько линейно независимых собственных векторов, соответствующих доминирующему собственному значению, то это
не влияет на сходимость. Действительно, если
то
Итерации поэтому сходятся к некоторому вектору, лежащему в подпространстве, натянутом на собственные векторы
причем предел зависит от начального вектора