§ 18.4. Теорема Алберта — Хассе — Брауэра — Нётер

Наиболее глубоким результатом в теории центральных простых алгебр является теорема Алберта — Хассе — Брауэра — Нётер. Она была доказана независимо Хассе, Брауэром и Нётер в [40] и Албертом и Хассе в [4].

Теорема Алберта — Хассе — Брауэра — Нётер. Пусть поле алгебраических чисел и Если для всех

Для удобства до конца этого параграфа мы будем называть этот результат «основной теоремой».

Основная теорема тесно связана с одним из глубоких результатов теории полей классов — теоремой Хассе о нормах. Как мы покажем ниже, основную теорему довольно легко вывести из теоремы о нормах. С другой стороны, теорема о нормах является по существу утверждением о тривиальности некоторой группы когомологий теории полей классов, а тривиальность этой группы когомологий есть простое следствие основной теоремы. Ее прямое доказательство можно получить из анализа

обобщенных дзета-функций. Изложения этого доказательства имеются в книгах Дойринга [26] и Вейля [78].

Теорема Хассе о нормах. Пусть циклическое расширение, причем поля алгебраических чисел. Элемент является нормой элемента поля К тогда и только тогда, когда для всех нормирований

Все доказательства теоремы о нормах длинны. Мы будем использовать этот результат без доказательства. Алгебраическое изложение теории полей классов дано в статье Тейта в книге [22] и книге Артина — Тейта [10]. Доказательства теоремы о нормах, пользующие определенный аналитический аппарат, можно найти в книгах Януша [52] и Ленга [56].

Наша формулировка теоремы Хассе о нормах требует некоторого пояснения. Поскольку циклическое расширение (а следовательно, расширение Галуа), все продолжения нормирования на поле К приводят к одному и тому же пополнению В частности, множество зависит от Поэтому обозначение вместо корректно.

Пусть расширение Галуа и Тогда можно (и мы это будем делать) предполагать, что поля являются подполями поля такими, что Возможны различные вложения поля К в поле но все они имеют один и тот же образ. Пусть одна из сопряженных групп разложения, ассоциированная с продолжением нормирования на поле К. Если разложение группы на смежные классы по подгруппе то

Это замечание показывает, что если элемент является нормой элемента из поля К, то для всех нормирований т. е. условие сформулированное в теореме Хассе о нормах, действительно необходимо и это легко доказывается для расширений Галуа. Трудное обратное утверждение является специфическим свойством циклических расширений (см. [22], с. 360).

Доказательство основной теоремы. Рассмотрим сначала случай, когда алгебра А циклична: где поля алгебраических чисел, циклическое расширение, В силу следствия и нашего предположения если то , где

Из леммы 15.1 вытекает, что для всех Тогда а по теореме Хассе о нормах, так что в силу леммы 15.1. Рассмотрим общий случай. Для получения противоречия предположим, что Если простой делитель индекса то в силу предложения 15.2 существует поле алгебраических чисел содержащее такое, что где циклическая алгебра с делением степени В частности, Пусть нормирование делит нормирование Отождествим иоле с подполем в Из нашего предположения следует, что Поскольку алгебра циклична, первая часть доказательства приводит к необходимому противоречию

Основную теорему можно представить в удобной форме, если воспользоваться отображениями для центральных простых алгебр над локальными полями, которые были введены в § 17.10. Сначала необходимо распространить определение отображения на случаи Если то либо либо Определим отображение следующим образом: если если Ясно, что тогда и только тогда, когда Следовательно, отображение можно рассматривать как биективное отображение группы в группу Так как

в силу результатов § 15.4, то ясно, что гомоморфизм групп. Отображение определим как нулевое отображение в группу В этом случае совершенно ясно, что инъективный групповой гомоморфизм группы в группу поскольку

Если архимедово нормирование поля алгебраических чисел то пополнение в силу предложения 18.3 совпадает либо с либо с С. Нормирование называется соответственно этому вещественным или комплексным нормированием поля Таким образом, инварианты определены для всех нормирований они индуцируют гомоморфизмы мультипликативных групп в аддитивную группу Для упрощения обозначений мы будем писать вместо Это же обозначение будет использовано для обозначения соответствующего гомоморфизма

Если то элемент группы называется локальным инвариантом алгебры А относительно нормирования Совокупность локальных инвариантов приводит к глобальному инварианту алгебры А. Глобальный инвариант является отображением которое определено таким образом: Ясно, что если Значит, можно рассматривать как отображение группы в произведение некоторого количества экземпляров группы Одно и то же обозначение или будет применяться в обоих смыслах.

Предложение. Если поле алгебраических чисел, то инъективный гомоморфизм группы в группу

Поскольку то из следствия вытекает, что гомоморфизм групп. Утверждение об инъективности этого гомоморфизма является другой формулировкой основной теоремы.

Следствие а. Пусть .

(i) тогда и только тогда, когда .

(ii) тогда и только тогда, когда

Лемма. Если расширение полей алгебраических чисел, то

Доказательство. Если нормирование дискретно, то лемма — просто переформулировка предложения 17.10. Предположим, что нормирование архимедово. Если то Следовательно, как и в последней части доказательства основной теоремы. Если то Для поля имеются две возможности: либо либо В первом случае Если то

Следствие Пусть поле алгебраических чисел К является расширением поля алгебраических чисел Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) поле К расщепляет алгебру А тогда и только тогда, когда для всех нормирований таких, что ;

(ii) поле К изоморфно строго максимальному подполю алгебры А тогда и только тогда, когда для всех нормирований таких, что

Следствие вытекает из леммы, основной теоремы и следствия 13.3.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)