§ 3.2. Минимальные правые идеалы

Теорема Веддёрберна о строении полупростых алгебр выводится из леммы Шура и некоторых фактов о минимальных правых идеалах. В настоящем параграфе собран ряд утверждений об этих идеалах.

Лемма а. Пусть прямая сумма подалгебр и правый идеал алгебры Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) М является правым идеалом алгебры

(v) М минимален как правый идеал в А тогда и только тогда, когда минимален как правый идеал в А,

(vi) каждый минимальный правый идеал алгебры А является минимальным правым идеалом либо в либо в

Доказательство. Утверждения легко получаются из того, что Детали рассуждений мы предоставляем читателю в качестве упр. 1. Предположим, что минимальный правый идеал алгебры Тогда для имеем так что либо либо При этом не может случиться так, что ибо в противном случае

Следствие а. Пусть полупростые алгебры. Тогда алгебра также полупроста.

Таким образом, класс полупростых алгебр замкнут относительно конечных прямых сумм.

Лемма Пусть минимальный правый идеал алгебры Тогда либо либо является минимальным правым идеалом алгебры А, причем как -модули.

Доказательство. Отображение определяет сюръективный гомоморфизм -модулей так что наше утверждение вытекает из леммы Шура.

Лемма с. Пусть правый идеал алгебры А, удовлетворяющий условию Если простой -модуль, то Кроме того, .

Доказательство. Так как модуль прост и то либо либо Второй случай невозможен, ибо тогда что противоречит условию. В частности, если максимальный правый идеал алгебры то т. е. Следовательно, содержится в радикале который по определению является пересечением всех максимальных правых идеалов алгебры

Предложение. Пусть минимальные правые идеалы полупростой алгебры А. Тогда следующие условия эквивалентны:

(iii) существует такой элемент что

Доказательство. Если изоморфизм -модулей, то по лемме с. Таким образом, Предположим, что элемент выбран таким образом, что Из простоты модуля и того факта, что является ненулевым подмодулем в вытекает, что Наконец, (i) следует из (iii) ввиду леммы

Лемма Пусть А — полупростая алгебра и где ее минимальные правые идеалы. Тогда если некоторый минимальный правый идеал в А, то для подходящего

Доказательство. Ввиду полупростоты из предложения 2.4 следует, что для подходящего правого идеала Согласно следствию 2.4а, модуль также является полупростым -модулем. Тогда утверждение о том, что для некоторого вытекает из предложения 2.5 (или теоремы Жордана-Гёльдера).

Следствие Если алгебра А полупроста, то число классов изоморфизма простых -модулей конечно.

Это вытекает из предложения и леммы

Упражнения

(см. скан)