ГЛАВА 12. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

§ 1. Случайность и фурье-анализ

В предыдущих параграфах с максимальной точностью рассмотрено поведение отдельного возмущения с периодической зависимостью от пространственных координат — «плоской волны».

Такой тип возмущения был выбран для рассмотрения в связи с математическим упрощением задачи, сводящейся к исследованию зависимости амплитуды и фазы возмущения от времени. Пространственное распределение возмущения эволюционирует так, что длина волны растет пропорционально радиусу мира. Решающим в выбср; исследуемого решения является тот факт, что, пока возмущения малы, любое произвольно распределенное в пространстве возмущение может быть представлено в виде суммы плоских волн и каждое слагаемое ведет себя так же, как одна единственная отдельная волна.

Ниже мы переходим к исследованию разложения возмущений произвольной формы по плоским волнам и обратной задачи — свойств различных комбинаций плоских волн.

При малой — но не слишком малой — амплитуде возмущений можно продвинуть теорию на один-два шага вперед, рассматривая взаимодействие волн между собой как поправку к линейной теории. В некоторых простых случаях удается решить точно (или приближенно) полную нелинейную задачу.

Характерной особенностью космологических задач является хаотический характер возмущений; с его рассмотрения мы и начнем.

Даже первый мимолетный взгляд на карту распределения галактик показывает, что их расположение и форма в большой степени являются случайными. Ясно, что статистические методы необходимы для описания структуры Вселенной в масштабах галактик и скоплений галактик. Статистические методы также являются (или должны являться) важной частью эволюционной теории и особенно теории развития возмущений. Хотелось бы, приняв случайные начальные возмущения и применяя к ним фундаментальную теорию (гравитация, взаимодействие с излучением и т. д.), получить статистические законы наблюдаемой Вселенной. Основные

положения статистического описания, статистических законов и теории вероятности недостаточно знакомы большинству читателей и нуждаются в объяснениях.

В простейшем виде, например в связи с бросанием монеты, или игральных костей, случайность определяется как противоположность какой-либо функциональной зависимости. Результат каждого последующего события не должен зависеть от прошлых событий (если игрок честный!). Первая трудность в наших задачах заключается в том, что мы работаем не с дискретными испытаниями и величинами (отдельные бросания с ответом «да» или «нет» в примере с монетой), а с функциями непрерывных переменных, например плотностью как функцией пространственных координат и времени. С помощью искусственного разделения пространства на отдельные ячейки можно ввести дискретный набор (средняя плотность в ячейке с индексом Предположим, что независимы; очень скоро эта независимость будет разрушаться физическим взаимодействием с веществом в соседних ячейках. Эти соображения показывают, что приближение ячеек нецелесообразно. Сама форма описания должна быть приспособлена к характеру процессов, происходящих в рассматриваемых системах.

В тех случаях, когда однородное распределение вещества является разумным первым приближением, плоские волны, естественно, выделяются простыми свойствами, как показано в предыдущих главах. Плоские волны в линейном приближении изменяются независимо друг от друга, т. е. не взаимодействуют. Поэтому можно использовать фурье-разложение случайных функций.

Большие успехи достигнуты в использовании случайных переменных и их фурье-разложений в связи с теорией турбулентности, теорией плазмы и в радиотехнике. Лучшим, известным авторам, руководством по этим вопросам применительно к гидродинамике является замечательная книга Монина и Яглома (1965, 1967).

Фурье-разложение скалярной функции заданной в объеме V, может быть записано в виде (при пользовании комплексными величинами подразумевается, что надо взять лишь действительную часть)

где

Отметим прежде всего, что производится разложение по системе ортогональных нормированных функций

где

с условиями ортогональности и нормировки

Но из условия нормировки следует, что функции имеют размерность Так как безразмерно, то коэффициенты очевидно, имеют размерность сми.

Иметь дело с размерными коэффициентами неудобно: даже зная численное значение нельзя сказать, велики или малы возмущения. Поэтому в дальнейшем (учитывая также статистический характер задачи) мы введем безразмерную величину пропорциональную квадрату амплитуды усредненному по нескольким соседним функциям:

где число членов суммы. Величина безразмерна, так как размерность есть множитель введен для удобства. Если при всех волновых векторах безразмерное мало, то мало и возмущение плотности. Доказательство будет дано ниже, при рассмотрении предела

Волновой вектор может принимать одно из дискретных значений, допустимых для данного ограниченного объема Например, если объем кубический и задано условие периодичности и аналогично по то

где целые числа.

Для определенности постоянную часть соответствующую при исключим из суммирования. В данном случае это оправдано тем, что по определению среднее возмущение в данном объеме если под понимать среднюю плотность по данному объему Проблемы, связанные с переходом к бесконечному пространству обсуждаются ниже. Разумное определение случайной функции состоит в том, что ее коэффициенты Фурье случайны. Идея заключается в том, что эта случайность не

разрушается физическим взаимодействием, по крайней мере пока возмущение мало, в линейном приближении. Следовательно, предположение о случайности фурье-компонент лучше, чем предположение о случайности значений в различных ячейках.

Гипотеза случайности связана с идеей, что мы можем выбрать во Вселенной много различных объемов Каждый из них называется реализацией, имеющей единственную определенную плотность и единственный набор Рассматривая эти объемы совместно, мы можем спросить: как часто встречается данное значение Следовательно, мы можем ввести вероятность или для многих волн сразу появления данных значений коэффициентов Фурье. В линейной теории проще пользоваться записью в комплексной форме. Тогда и С — действительные) и более удобно говорить о Если взять объемов, то число объемов в которых лежит между равно

Для случайного распределения интересующей нас величины естественно предположить, что равно произведению членов типа с заданными коэффициентами определяющими средний квадрат амплитуды мод возмущений. Представление в виде произведения множителей, зависящих только от и т. д., (факторизация) означает, что и т. д. независимы. Выбор экспоненциальной (гауссовой) формы сомножителей означает, что мы выбрали нормальный закон распределения, который хотя и не является наиболее общим законом распределения, но, как правило, осуществляется в действительности.

Другое возможное представление есть описываемое заданием Вместо того, чтобы брать действительную часть комплексного выражения, можно использовать условие которое также обеспечивает действительность. Нормальный закон распределения в этом случае означает, что

значение зависит только от но не от однако так, что

Параметры определяют средние квадраты Именно с помощью этих параметров и могут быть точно сформулированы наши предположения о спектре возмущений.

Например, изотропия и однородность мира выражаются в том, что зависят лишь от модуля но не от его направления, кроме того,

Правдоподобно, что функция гладкая. Мы знаем, что возмущения плотности эволюционируют со временем. Следовательно, зависит от Предыдущие главы этого раздела были посвящены изучению эволюции возмущений с течением времени, т. е., по существу, изучению функции Для того чтобы полностью определить функцию задающую спектр возмущений для произвольного момента времени необходимо в полученные ранее (§ 3 гл. 11) выражения для фурье-образов возмущений плотности подставить конкректные значения коэффициентов определяемые предположением о характере спектра возмущений в некоторый определенный момент времени (скажем, при

В каждой данной реализации или и С различны в разных направлениях; они имеют определенные значения, не гладко изменяющиеся в зависимости от

Понятие набора реализаций — важнейшая часть статистической теории, и мы в дальнейшем будем иметь дело с этим понятием.