§ 8 ФОРМУЛЫ ГРИНА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Изученные в двух предыдущих параграфах соотношения между интегралами являются источниками многочисленных формул, служащих для преобразований интегральных выражений и используемых в различных вопросах математического анализа, особенно в теории дифференциальных уравнений. Выведем сейчас группу этих формул, носящих названия формул Грана, причем будем последовательно излагать и? применительно к линейному, плоскому и пространственному случаям.
106. Линейный случай.
Возьмем формулу Ньютона — Лейбница в виде:
и положим
где 
— функции независимой переменной 
дважды непрерывно дифференцируемые в данном интервале 
оси Ох. Имеем:
и формула Ньютона—Лейбница 
перепишется так:
Если поменять местами функции 
то будем иметь:
Вычитая это равенство из предыдущего, получим
или, в обычной записи,
Это и есть формула Грина в линейном случае. Она позволяет обыкновенный интеграл от известного «симметричного» дифференциального выражения второго порядка записать в виде некоторого также «симметричного» дифференциального выражения первого порядка.
Обобщим выведенную формулу Грина для линейного дифференциального выражения второго порядка:
где функции А, В, С и и независимой переменной 
дважды непрерывно дифференцируемы в интервале 
Выражению 
отнесем выражение
которое называется ему сопряженным. Легко проверить, что понятие сопряженности взаимное: выражением, сопряженным выражению 
будет 
. Если 
совпадает с 
то оно называется самосопряженным. Раскрывая выражение 
нетрудно убедиться, что необходимым и достаточным условием самосопряженности выражения 
служит равенство
Значит, общий вид самосопряженного дифференциального выражения 
для одной независимой переменной таков:
При 
выражение обращается в 
Желая обобщить формулу Грина (4.26), найдем интеграл
для самосопряженного выражения 
Имеем:
Интегрируя первый член по частям и помня, что функция 
есть первообразная для функции 
получим:
или, в обычной записи,
где определяется по формуле (4.27). Это — обобщенная формула Грина в линейном случае. При 
из нее получается формула (4.26).
