14. Коэффициент искажения.

Итак, при аффинном отображении равномерно распределенные точки остаются равномерно распределенными. Это наводит на предположение, что отношение площади образа к площади прообраза должно оставаться постоянным при аффинном преобразовании.

Покажем справедливость высказанного предположения. Для этого найдем сначала площадь параллелограмма — образа прямоугольника (черт. 5). Так как алгебраическая величина Да площади параллелограмма равна удвоенной площади треугольника а координаты вершин этого треугольника соответственно равны:

то

При этом алгебраическая величина Да площади параллелограмма имеет знак если обход вершин в порядке происходит в положительном направлении (т. е. так, что область, ограниченная параллелограммом, остается слева), и знак если он происходит в отрицательном направлении. Согласно правилам действий над определителями имеем:

где — алгебраическая площадь прямоугольника Отсюда

Ввиду того, что отношение площади параллелограмма к площади прямоугольника есть величина постоянная (равная то и отношение площади («аффинного») образа в плоскости к площади, прообраза в плоскости

будет также постоянным и равным независимо от характера прообраза (см. п°21).

Число равное модулю определителя системы (1.8), показывает, во сколько раз изменяется площадь любой области при аффинном ее отображении (1.8); оно называется коэффициентом искажения (или коэффициентом растяжения) аффинного отображения (1.8). (Растяжение с коэффициентом, меньшим 1, является фактически «сжатием».)