§ 8. ВЫРОЖДЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИИ

27. Вырождение.

Мы уже замечали, что если якобиан аффинного отображения (1.8) равен нулю, то отображение будет вырожденным несобственным) и вся плоскость преобразуется в прямую линию (или точку). Можно

ожидать, что аналогичное обстоятельство будет иметь место и в общем случае когда якобиан отображения в данной области тождественно равен нулю.

Опять простое наводящее рассуждение делает такое ожидание вполне оправданным: если якобиан отображения тождественно равен нулю, то якобиан аффинного отображения, к которому локально сводится рассматриваемое отображение, равен нулю, и аффинное отображение оказывается вырожденным; поэтому и данное отображение должно быть вырожденным (несобственным): всякая часть данной области и вся область преобразуются в линии. Точно говоря, справедлива такая теорема:

Теорема. Необходимым и достаточным условием того, что отображение (1.6):

дифференцируемое в области является вырожденным (несобственным), т. е. преобразующим область плоскости в некоторую линию плоскости

где Р — дифференцируемая функция, служит тождественное области равенство нулю якобиана отображения:

Доказательство. Необходимость условия доказывается сразу. Дифференцируя тождество (125) по и по у, будем иметь:

Из этой однородной системы могут быть найдены значения не оба нулевые, если только определитель этой системы

тождественно равен нулю, а эгот определитель и есть якобиац отображения.

Перейдем к доказательству достаточности условия. Итак, пусть

Предположим, что какая-нибудь его частная производная тождественно равна нулю; пусть, например, тогда или или . В той области, где будем иметь: т. е. отображение размещается на прямой и оно вырожденное; в той же области, где переменные и не зависят от у, и отображение снова вырожденное, ибо равенства где суть функции только одного аргумента являются параметрическими уравнениями линии в плоскости Если то из равенства можно однозначно выразить у как дифференцируемую функцию ; положим: Значит, тождественно

Дифференцирование по дает

что можно записать и так:

Сравнивая это равенство с данным по условию равенством, получим:

Далее мы имеем:

Производная по от этой функции равна:

а это, как мы трлько что видели, равно нулю. Следовательно, функция не зависит от и переменные оказываются связанными между собой соотношением вида (1.25), не зависящим от х и у. Теореыа полностью доказана.