72. Замена функции.

Замена в дифференциальном выражении (3.8) только функции двух независимых переменных на производится совершенно так же, как и в выражении (3.1) функции одной независимой переменной. Если дана формула преобразования

то

Подставляя в формулу (3.8) даннке и найденные выражения, мы и получим искомое выражение для

В преобразовании (3.14) возможны два случая: — известная функция одного аргумента — новой функции двух независимых переменных новая функция одного аргумента — известной функции тех же двух независимых переменных х и у.

Пример 4. Пусть

Преобразуем к новой функции при условии, что или где

Имеем:

(вторая строка вследствие симметрии получается из первой строки заменой на у и на х). Подставляя, находим:

Выражение для в известном смысле значительно упростилось, так как теперь мы имеем дело с функцией лишь одной независимой переменной. Если нужно решить дифференциальное уравнение с частными производными: то с помощью указанного преобразования мы сведем это решение к решению обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

(Между прочим, последнее обыкновенное линейное дифференциальное уравнение посредством замены сводится еще к такому линейному уравнению:

см. пример 7 в п° 69.)

При легко находим, что

и, значит, уравнение

имеет, в частности, решение

что легко проверить и непосредственно. Других решений вида это уравнение не имеет.