19.5.1. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ПРИВЯЗКА

Классический способ взаимной привязки (совмещение) пары функций состоит в том, что формируется величина, измеряющая корреляцию между этими функциями, и находится положение максимума функции корреляции [16, 17]. Рассмотрим применение этого способа в случае двух измерений. Пусть массивы  и  представляют два дискретных изображения, которые требуется привязать друг к другу. В простейшей форме мера корреляции определяется следующим образом:

,                               (19.5.1)

где  - индексы элементов в окне  размером  элементов, которое расположено внутри зоны поиска  размером  элементов. Рис. 19.5.1 иллюстрирует соотношение между зоной поиска и окном. Вообще, функцию корреляции требуется вычислить для всех  возможных смещений окна в зоне поиска для того, чтобы определить ее максимальное значение и получить оценку ошибки совмещения.

Рис. 19.5.1. Зона поиска при корреляционной привязке и площадь окна.

Применение этой простой меры корреляции связано с двумя основными трудностями. Во-первых, функция корреляции может иметь довольно размытый максимум, что затрудняет его обнаружение. Следует отметить, что мера корреляции (19.5.1) не учитывает пространственную структуру сравниваемых изображений. Во-вторых, шум на изображении может скрыть максимум корреляции. Обе трудности можно преодолеть, улучшив меру корреляции таким образом, чтобы в ней учитывались статистические свойства изображений  и .

Улучшенная мера корреляции определяется как

,                             (19.5.2)

где массивы  получаются сверткой массивов, описывающих изображения, с функциями , представляющими собой импульсные характеристики пространственных фильтров:

.                                             (19.5.3)

Импульсные характеристики выбираются так, чтобы максимизировать пиковую корреляцию в том случае, когда сравниваемые изображения совмещены наилучшим образом. Эти характеристики можно получить с помощью теории согласованной фильтрации дискретных массивов, развитой в предыдущем разделе. Пусть  - вектор, полученный разверткой по столбцам фрагмента , соответствующего окну, а вектор  составлен из элементов фрагмента  при заданном сдвиге . Полное число различных векторов  составляет . Элементы векторов  и  обычно сильно коррелированы. Поэтому в соответствии с методом согласованной фильтрации случайных полей первый шаг обработки должен состоять в «отбеливании», т. е. в умножении этих векторов на матрицы отбеливающих фильтров  и :

,                                                                                             (19.5.4а)

.                                                 (19.5.4б)

Матрицы  и  определяются через ковариационные матрицы изображений

,                                                                                  (19.5.5а)

.                                                                                 (19.5.5б)

Матрицы  и  можно представить в следующем виде:

,                                                                                  (19.5.6а)

,                                                                                (19.5.6б)

где матрицы  и  образованы из собственных векторов ковариационных матриц  и , а  и  - диагональные матрицы из их собственных значений.

Мера корреляции (19.5.2) записывается в виде нормированного скалярного произведения

.           (19.5.7а)

Можно показать, что возможно другое представление этой меры:

,  (19.5.7б)

где . Используя формулу (19.5.7а) надо производить «отбеливание» вектора  и всех  векторов , тогда как формула (19.5.76) требует лишь одного умножения вектора  на матрицу . Ясно, что вторая формула предпочтительнее первой, если все вычисления выполняются обычными средствами.

Чтобы найти матрицы , необходимо вычислить два набора собственных векторов и собственных значений ковариационных матриц двух сравниваемых изображений в пределах окна. Если окно содержит  элементов, то каждая из ковариационных матриц  и  будет иметь размер . Например, если , то ковариационные матрицы  и  будут иметь размер . Вообще вычисление собственных векторов и собственных значений для таких больших матриц оказывается трудоемкой задачей для всех вычислительных машин, за исключением самых мощных. Однако в особых случаях эти вычисления можно заметно упростить [14]. Например, если изображения моделируются реализациями разделимого марковского процесса и отсутствует шум, то свертка (19.5.3) сводится к свертке изображения с маской обнаружения перепадов (17.4.6), когда

,                         (19.5.8)

где  - коэффициент корреляции смежных элементов изображения. Если оба изображения пространственно некоррелированы, то  и операции свертки не требуются. В другом предельном случае когда ,

.                                                                 (19.5.9)

Этот оператор представляет собой один из видов оператора Лапласа. Таким образом, когда изображения сильно коррелированы, вычисление улучшенной меры корреляции (19.5.2) сводится к обычной корреляции контурных изображений двух сцен.

Рис. 19.5.2. Графики зависимости улучшенной меры корреляции изображений от величины сдвига.

На рис. 19.5.2 приведены результаты моделирования на вычислительной машине совмещения изображений естественных сцен с использованием улучшенной меры корреляции (19.5.7а). При моделировании изображение танка было смещено по горизонтали на три элемента и по вертикали на четыре элемента. Затем была вычислена мера корреляции этой пары изображений в окне размером  элементов для зоны поиска размером  элемента. На рис. 19.5.2 представлены кривые нормированной меры корреляции. Следует заметить, что при  (что соответствует обычной корреляции) довольно трудно различить пик величины . При  или больше  имеет четкий пик в точке, соответствующей правильному положению объекта.