3.5.8. Преобразование Кархунена-Лоэвэ

Преобразование Кархунена-Лоэвэ (его еще называют преобразованием Хотеллинга) имеет наилучшую эффективность в смысле концентрации энергии изображения, но по указанным выше причинам, оно имеет скорее теоретическое, нежели практическое значение. Данное изображение следует разделить на  блоков по  пикселов в каждом, обычно, , но допускаются и другие значения, а число  зависит от размера изображения. Рассматриваются векторы блоков, которые обозначаются при . Усредненный вектор равен . Вводится новое семейство векторов  для которого усредненный вектор  равен нулю. Матрицу преобразования (KLT) размера , которую мы будем строить, обозначим через . Результатом преобразования вектора  будет весовой вектор . Усреднение вектора  также равно нулю. Построим матрицу , столбцами которой будут служить векторы . Рассмотрим также матрицу  со столбцами :

, .

Матрицы  и  имеют  строк и  столбцов. Из определения векторов  заключаем, что .

Все  векторов коэффициентов  преобразования Кархунена-Лоэвэ определяются равенствами

,  .

Таким образом, вектор  состоит из -ых элементов весовых векторов  при .

Рассмотрим матрицу-произведение . Элемент строки  и столбца  этой матрицы равен сумме произведений

, для .                        (3.17)

Тот факт, что среднее каждого вектора  равно нулю означает, что каждый диагональный элемент  матрицы-произведения является дисперсией (с множителем ) -го элемента (или -ой координаты) вектора . В самом деле, из уравнения (3.17) находим, что

.

Внедиагональные элементы матрицы  являются ковариациями векторов , то есть, элемент  равен ковариации координат  и  векторов . Из уравнения (3.17) также видно, что эти величины равны скалярным произведениям  векторов  и . Одной из основных задач преобразования изображения является приведение его к декоррелированной форме координат векторов. Теория вероятности говорит о том, что две координаты являются декоррелированными, если их ковариация равна нулю (другая цель - это концентрация энергии, но эти две задачи тесно связаны). Значит, необходимо найти матрицу , такую, что произведение  будет диагональной матрицей.

Из определения матрицы  находим, что

.

Матрица  является симметрической, ее элементами служат ковариации координат векторов , то есть,

, при .

Раз матрица  - симметрическая, то ее собственные векторы ортогональны. Нормализуем их (то есть, сделаем их ортонормальными) и выберем их в качестве строк матрицы . Получим следующий результат:

.

При таком выборе матрицы  матрица  будет диагональной, причем элементы диагонали являются собственными числами матрицы . Матрица  служит матрицей преобразования Кархунена-Лоэвэ; ее строки являются базисными векторами KLT, а энергией (дисперсией) преобразованных векторов служат собственные числа  матрицы .

Базисные векторы для KLT вычисляются с помощью пикселов исходного изображения, то есть, они зависят от исходных данных. В конкретном методе сжатия эти векторы следует записывать в сжатый файл для использования декодером. Кроме того не известен быстрый метод вычисления этих векторов. Все эти факты делают метод KLT сугубо теоретическим без реальных приложений.

Честность - вот лучший образ.
- Том Уилсон