35. Логическая структура функций нечетких переменных

Напомним, что в пропозиционной алгебре пропозиционная связка

«и» обозначается через , (35.1)

«или/и» обозначается через , (35.2)

«дополнение» обозначается через , (35.3)

и утверждения с этими связками строятся в точности по тем же правилам, что и соответствующие им в булевой алгебре причем соответствует , соответствует , соответствует .

Для представления логической структуры отношений (строгих или нестрогих неравенств), которая появляется у функции нечеткой логики, рассматриваемой на интервале , будем использовать следующие символы.

Пусть - функция нечетких переменных и пусть - сегмент. Если и - некоторые переменные, входящие в , будем использовать следующие символы:

, (35.4)

, (35.5)

, (35.6)

. (35.7)

Предположим, что функцию можно представить в приведенной полиномиальной форме относительно . Чтобы получить логическую структуру в интервале , поступают следующим образом:

1) выражение вида заменяют выражением . Например, выражение заменяют ,

2) одночлены функции , объединенные символом заменяют одночленами , полученными по 1), и объединяют символом . Например, заменяют ;

3) составляют логические выражения, двойственные полученным в 2), заменяя на , на , на , на . Например, принимает вид ;

4) результаты, полученные по 2) и 3), объединяют символом . Это дает логическое выражение в интервале . Так, для примера, уже рассмотренного в 1) и 3):

, (35.8)

логическое выражение имеет вид

. (35.9)

Если функция представлена в полиномиальной форме относительно , правила 1) - 4) модифицируются следующим образом:

1) каждое выражение вида заменяется выражением ;

2) одночлены функции , объединенные символом , заменяются соответствующими одночленами в , объединенными символом ;

3) составляются выражения, двойственные тем, которые были получены в 2);

4) объединяются результаты шагов 2) и 3) символом .

Рассмотрим пример. Пусть

. (35.10)

Имеем

. (35.11)

Чтобы проиллюстрировать это на числах, предположим, что

. (35.12)

Тогда выражение (35.11) можно записать так:

(35.13)

Интересно разложить логические выражения по , , и , которые дают достаточные условия для каждого одночлена в разложении относительно . Это легко показать на примере. Рассмотрим снова (35.8):

; (35.14)

предположим, что

. (35.15)

Мы уже подсчитали [см. (35.9)]. Теперь продолжим разложение (35.9), чтобы преобразовать это выражение в полином относительно :

. (35.16)

Чтобы сократить выкладки, условимся вместо писать :

(35.17)

Каждый из этих одночленов достаточен, поэтому имеем

. (35.18)

Проверим это, например, для

(девятый одночлен). (35.19)

Применяя определения (35.4) - (35.7), получаем

(35.20)

Таким образом,

и . (35.21)

Эти неравенства представляют собой достаточные условия для того, чтобы соотношение (35.18) было верным.

Столь же интересно провести двойственное разложение относительно . Обратимся опять к примеру ((35.14) и (35.15)) и разложим полиномы относительно ; (35.14) дает

. (35.22)

Опуская значок , получаем

(35.23)

Отметим, что если произвести разложение по , то снова придем к соотношению (35.17) с точностью до сокращения немаксимальных одночленов.

Таблица 35.1. Основные функции двух нечетких переменных и их логические структуры для интервала

Полиномиальная форма

относительно

относительно

                  (35.24)

                  (35.25)

                  (35.26)

                  (35.27)

                  (35.28)

                  (35.29)

                  (35.30)

   (35.31)

Эти выражения можно упростить, если известно расположение относительно 1.