35. Логическая структура функций нечетких переменных

Напомним, что в пропозиционной алгебре пропозиционная связка

«и» обозначается через ,              (35.1)

«или/и» обозначается через ,                   (35.2)

«дополнение» обозначается через ,                     (35.3)

и утверждения с этими связками строятся в точности по тем же правилам, что и соответствующие им в булевой алгебре причем  соответствует ,  соответствует ,  соответствует .

Для представления логической структуры отношений (строгих или нестрогих неравенств), которая появляется у функции нечеткой логики, рассматриваемой на интервале , будем использовать следующие символы.

Пусть  - функция нечетких переменных  и пусть  - сегмент. Если  и  - некоторые переменные, входящие в , будем использовать следующие символы:

,               (35.4)

,                      (35.5)

,                  (35.6)

.             (35.7)

Предположим, что функцию  можно представить в приведенной полиномиальной форме относительно . Чтобы получить логическую структуру в интервале , поступают следующим образом:

1) выражение вида  заменяют выражением . Например, выражение  заменяют ,

2) одночлены функции , объединенные символом  заменяют одночленами , полученными по 1), и объединяют символом . Например,  заменяют ;

3) составляют логические выражения, двойственные полученным в 2), заменяя  на ,  на ,  на ,  на . Например,  принимает вид ;

4) результаты, полученные по 2) и 3), объединяют символом . Это дает логическое выражение  в интервале . Так, для примера, уже рассмотренного в 1) и 3):

,                (35.8)

логическое выражение имеет вид

.                (35.9)

Если функция  представлена в полиномиальной форме относительно , правила 1) - 4) модифицируются следующим образом:

1) каждое выражение вида  заменяется выражением ;

2) одночлены функции , объединенные символом , заменяются соответствующими одночленами в , объединенными символом ;

3) составляются выражения, двойственные тем, которые были получены в 2);

4) объединяются результаты шагов 2) и 3) символом .

Рассмотрим пример. Пусть

.              (35.10)

Имеем

.             (35.11)

Чтобы проиллюстрировать это на числах, предположим, что

.                      (35.12)

Тогда выражение (35.11) можно записать так:

                    (35.13)

Интересно разложить логические выражения по , , и , которые дают достаточные условия для каждого одночлена в разложении относительно . Это легко показать на примере. Рассмотрим снова (35.8):

;                (35.14)

предположим, что

.                      (35.15)

Мы уже подсчитали  [см. (35.9)]. Теперь продолжим разложение (35.9), чтобы преобразовать это выражение в полином относительно :

.                (35.16)

Чтобы сократить выкладки, условимся вместо  писать :

   (35.17)

Каждый из этих одночленов достаточен, поэтому имеем

.                  (35.18)

Проверим это, например, для

 (девятый одночлен).                   (35.19)

Применяя определения (35.4) - (35.7), получаем

             (35.20)

Таким образом,

 и .                    (35.21)

Эти неравенства представляют собой достаточные условия для того, чтобы соотношение (35.18) было верным.

Столь же интересно провести двойственное разложение относительно . Обратимся опять к примеру ((35.14) и (35.15)) и разложим полиномы относительно ; (35.14) дает

.                     (35.22)

Опуская значок , получаем

                    (35.23)

Отметим, что если произвести разложение по , то снова придем к соотношению (35.17) с точностью до сокращения немаксимальных одночленов.

Таблица 35.1. Основные функции двух нечетких переменных и их логические структуры для интервала

Важное замечание. Если нечеткая переменная  принимает свои значения в интервале

,             (35.32)

то переменная  принимает свои значения в интервале

.               (35.33)

Если  принимает свои значения в интервале

,             (35.34)

то  - в интервале

.               (35.35)