44. Понятие закона композиции
Вспомним
несколько классических понятий теории обычных множеств.
Закон
внутренней композиции. Законом внутренней композиции на множестве 
называется
отображение из 
в
. Другими
словами, каждой упорядоченной паре 
ставится в соответствие один и только
один элемент 
.
На
практике этот закон изображают символом, который, располагаясь между 
и 
, служит для обозначения
элемента, соответствующего упорядоченной паре 
. Часто используют символ 
. Таким образом,
; (44.1)
на
практике для разновидностей законов используют подходящие общепринятые символы
вроде 
, 
, 
, 
, 
и т. д.
Отображения
в часто удобно
изображать условным знаком, связанным с элементами :
,
. (44.2)
Закон
внешней композиции. Пусть 
, 
и 
. Отображение 
в 
называется законом внешней
композиции. Другими словами, каждой упорядоченной паре ставится в соответствие элемент
и только
один такой элемент.
Закон
композиции будет внутренним тогда и только тогда, когда 
.
Примеры.
1.
Пусть 
(множество
действительных чисел); если в качестве закона выбрано обычное сложение , то этот закон
внутренний, так как сумма двух действительных чисел – всегда действительное
число; действительно, имеем 
.
2.
Пусть 
- обычное
множество всех подмножеств некоторого множества; тогда операции пересечения,
объединения, разности и дизъюнктивной суммы определяют внутренние законы.
3.
Если 
(множество
неотрицательных чисел) и если закон состоит в вычислении разности 
, 
, то получаем внешний закон,
так как возможно, что 
.
4.
Если 
-
множество свободных векторов в плоскости и если символ определяет векторное
произведение (прямое произведение) двух векторов, то имеем закон внешней
композиции.
Группоид.
Упорядоченная пара, состоящая из множества и внутреннего закона композиции , определенного на
этом множестве всюду, называется группоидом и обозначается 
.
Примеры.
1.
Закон композиции, представленный на рис. 44.1, задает группоид.
Рис. 44.1.
2.
Примеры 1 и 2, приведенные выше для иллюстрации понятия внутреннего закона
композиции, определяют группоид.
3.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел
определяют внутренние законы композиции на множестве 
положительных целых чисел.
Если обозначает наибольший общий делитель и 
- наименьшее общее кратное, то 
и 
являются группоидами.
