8.3. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И КОНТРОЛЯ ПН СПП

Методы обработки экспериментальных данных.

Задачей обработки статистических данных по надежности является либо определение вида и параметров закона распределения отказов, либо определение точечных и интервальных оценок какого-нибудь ПН, либо и то, и другое. При этом под оценкой понимают числовое значение ПН, определяемое по данным эксплуатации или испытаний. Здесь возможны два случая. В первом по некоторым данным находят численное значение того или иного ПН — в этом случае говорят о его точечной оценке. Во втором находят границы интервала, который с определенной вероятностью «накрывает» неизвестное нам значение ПН — в этом случае говорят об его интервальной оценке.

При этом следует различать две возможные ситуации. В первой из них нет никаких сведений о, законе распределения отказов приборов. Этот случай называется непараметрическим, а применяемые для него формулы носят наиболее общий характер. Во втором случае закон распределения отказов известен, а соответствующие формулы для оценок называются параметрическими. Ниже рассмотрены методы непараметрических оценок, так как законы распределения отказов СПП, как правило, неизвестны. С методами нахождения оценок ПН в параметрическом случае можно ознакомиться по работе [8.53]. Рассмотрим сначала методы точечной оценки ПН. (Эти оценки принято обозначать «крышечкой» над соответствующим показателем.)

Для точечной оценки ВБР используют одно из следующих соотношений:

или

где i — число отказов к моменту ; n — объем выборки (т. е. число изделий).

Выражение (8.10) следует применять для выборок большого объема, а (8.11) или (-для малых выборок. Вопрос о том, какую выборку считать большой, а какую — малой, не имеет строгого решения. Можно рекомендовать считать выборку малой, если . Во всех случаях для оценки ИО можно применять следующую формулу [8.53]:

Интенсивность отказов можно оценивать и не вычисляя ВБР, а непосредственно по экспериментальным данным. В этом случае необходимо использовать соотношение

где — число отказов в моменты . Средняя наработка до отказа оценивается по формуле

где d — число отказавших за время испытаний СПП.

Наконец, - процентные показатели оцениваются исходя из формулы

где — число приборов, отказавших до момента .

Пример 8.1. 1. Определение точечных оценок для ВБР и ИО.

а) Пусть при испытаниях 20 тиристоров в течение наблюдались 2 отказа. Требуется по этим данным оценить ВБР и ИО.

Решение. В соответствии с формулой (8.11) имеем , откуда

т. е. . Для ИО по формуле , откуда

. Можно убедиться в том что по формуле (8.13) мы бы получили Различие между полученными значениями вызвано тем, что для оценки ВБР было использовано (8.11), а Если считать R по (8.10), то значения ИО, вычисленные обоими способами, совпадут.

б) Пусть по данным эксплуатации известно, что из 5000 тиристоров за отказали 475. Оценим ВБР и ИО.

Решение. В соответствии с формулой . Для ИО по формуле (8.14) находим

Отметим, что в обоих рассмотренных случаях получено одно и то же значение ВБР и ИО, но в случае — на основании испытаний . тиристоров, в случае — на основании данных эксплуатации . тиристоров. Однако разный объем исходной статистической информации на точечных оценках никак не отражается. В то же время интуитивно ясно, что степень доверия к результату в случае гораздо выше, чем в случае . Поэтому кроме точечной оценки всегда желательно указать интервал значений, который с достаточно большой вероятностью «накрывает» неизвестное нам значение ПН. Пусть речь идет о ВБР. Тогда необходимо по соответствующим данным найти нижнюю и верхнюю границы ВБР и указать, с какой вероятностью интервал накрывает неизвестное нам значение

Верхняя доверительная граница для ВБР определяется из уравнения

где — число отказов, возможное при испытаниях элементов (т. е. ); d — фактически полученное число отказов; — число сочетаний из по — доверительная вероятность для верхнего доверительного предела. Аналогично имеем

где P — доверительная вероятность для нижнего доверительного предела. Если устанавливаются совместно оба предела, то общая доверительная вероятность

Уравнения (8.16), (8.17) называют уравнениями Клоппера—Пирсона. Они отвечают биномиальной схеме испытаний. Эта схема применяется тогда, когда неизвестен закон распределения отказов и принимается лишь одно допущение: вероятность отказа или ВБР для каждого СПП (элемента) одинакова. Аналитического решения эти уравнения не имеют. Их численные решения табулированы во многих руководствах [8.54, 8.55]. Кроме того, разработана номограмма [8.56], позволяющая с достаточной точностью находить решения этих уравнений в большинстве случаев, представляющих практический интерес. Кроме [8.56], номограмма подробно описана в [8.57; (§ 8.13, гл. 19)]. Один из вариантов этой номограммы показан на рис. 8.12. Вернемся к примеру 8.1 и найдем для него доверительные границы для ВБР с доверительной вероятностью

II. Определение интервальных оценок для ВБР и ИО.

Решение, а) Из уравнения (8.18) для полагая , находим

На сетке номограммы находим две точки: А и В. Точка А имеет координаты точка . Через точку А и точку 0,05 () на правой шкале проведем прямую линию, которая пересечет левую шкалу в точке откуда Через точку В и точку проведем другую которая пересечет левую шкалу в точке откуда Таким образом, случайный интервал [0,655; 0,956] накрывает истинное значение ВБР с вероятностью 90%. По найденным значениям R легко находятся и доверительные границы для ИО. Применяя с учетом того, что , и подставляя вместо то , то - , получаем

Рис. 8.12. Номограмма биномиального распределения .

Как и следовало ожидать, значение точечной оценки и для ВБР, и для ИО находится внутри полученного интервала.

б) Так же как и в случае , из следует . Номограммой в этом случае воспользоваться нельзя, так как n и велики (5000 и 475 соответственно). Вероятность отказа F, равная (1 — R), составляет 0,095.

Рис. 8.13. Точечная оценка и доверительный интервал для выборок различного объема (-ный доверительный интервал)

В связи с тем что это значение меньше 0,1, хорошим приближением к биномиальному распределению явится распределение Пуассона [8.2], причем в качестве параметра этого распределения берется величина Хотя уравнение Пуассона также табулировано почти во всех книгах по надежности, таблиц с таким большим значением найти практически невозможно. Однако для распределение Пуассона можно заменить [8.2] на нормальное с параметрами Введем нормированную нормальную переменную:

Для нормированной переменной z находим по таблицам нормального распределения такое значение для которого . Из-за симметрии нормального распределения другой границе будет. отвечать Следовательно, имеем

откуда . Разделив полученные значения на находим нижнюю и верхнюю границы для вероятности отказа, откуда

Соответственно для ИО

т. е. окончательно

Результаты расчета в случаях показаны на рис. 8.13.

Перейдем к более сложной задаче — определению вида и параметров закона распределения отказов. Математики разработали ряд методов, позволяющих более или менее успешно решать эту задачу.

С ними можно ознакомиться, например, в книге [8.53]. Ниже приведен лишь один метод решения, а именно графический. Его основным достоинством является то, что он позволяет отсеять формально правдоподобные, но по сути ошибочные решения.

Рис. 8,14. Нормальное распределение (ось абсцисс: равномерная шкала, мм; ось ординат: шкала - функция Гаусса, .

Рис. 8.15. Логарифмически нормальиое распределение (ось абсцисс: шкала — логарифмическая, ) мм; ось ординат: шкала — логарифмически нормальная, мм)

Идея графического метода заключается в том, что функция распределения отказов, отвечающая определенному закону, в правильно подобранных масштабах по оси абсцисс и ординат изображается прямой линией. Выбор необходимых масштабов по осям означает построение соответствующей вероятностной бумаги. Бумага носит название того закона распределения, который изображается на ней прямой линией. На рис. приведены сетки вероятностной бумаги для нормального, логарифмически нормального и вейбулловского распределений. Следует иметь в виду, что прежде чем использовать готовую вероятностную бумагу, надо проанализировать имеющиеся экспериментальные данные с точки зрения целесообразности их нанесения в данном масштабе.

Рис. 8.16. Распределение Вейбулла (ось абсцисс: шкала — логарифмическая, ); ось ординат: шкала — двойная логарифмическая,

Если анализ показывает, что имеющиеся значения, например, не укладываются по одной из осей или, наоборот, оказываются чрезмерно сжатыми, то надо расчертить вероятностную бумагу с иным, удобным для данного случая масштабом. Для этого следует воспользоваться уравнениями шкал, приведенными на рис. .

Рассмотрим два конкретных примера, на которых еще раз продемонстрируем применение изложенных методов. В табл. 8.3 в первых четырех колонках приведены результаты испытаний тиристоров типа на надежность. Длительность испытаний составила . Объем партии равнялся .

Пример 8.2. Обработка экспериментальных данных.

а) Точечная оценка ВБР и ИО. Определим по данным табл. 8.3 ВБР и ИО тиристоров данного типа при . В связи с тем что из 42 приборов за отказал 21, по формуле (8.10) имеем

По формулам (8.11) и (8.12) ВБР была бы равна 0,51 и 0,51, т. е. различие заключается во втором знаке после запятой. Для ИО по формуле (8.13) имеем

Таблица 8.3. Данные об отказах тиристоров при -часовых испытаниях на надежность,

б) Доверительные интервалы для ВБР и ИО По номограмме (см. рис. 8.12), используя описанный выше алгоритм, находим , откуда и 0,63. Из этих значений получаем для ИО . Точные значения доверительного интервала по таблицам и -ных рангов из [8.53, приложение 8] составляют т. е. номограмма дает значения, очень хорошо согласующиеся с точными.

в) Построение эмпирической функции распределения отказов. В пятой колонке табл. 8.3 приведены числа, названные медианным рангом (в ). Эти числа взяты из таблиц, приведенных в [8.53, приложение 8]. Они представляют собой вероятность отказа, посчитанную по весьма громоздким формулам бета - распределения. Хорошим приближением к этим формулам является равенство (8.12), которое и было выше рекомендовано для расчетов. В скобках для первых двух отказов приведены значения , рассчитанные по (8.12). Другими словами, если под руками есть готовые таблицы и там есть нужный объем выборки, то значения вероятности отказа берут прямо из таблиц.

Рис. 8.17. Построение эмпирической функции распределения отказов тиристоров типа при -часовых испытаниях на надежность

Если под руками таблиц нет, то надо рассчитать значения F по одной из формул (8.10) — (8.12). Следующий шаг состоит в нанесении точек на вероятностную бумагу. Какую именно взять бумагу, зависит от наличия или отсутствия предварительной информации о виде закона распределения. Если он неизвестен, то следует начинать с бумаги вейбулловского распределения. Дело в том, что оно весьма универсально и включает некоторые другие распределения (например, экспоненциальное — это частный случай вейбулловского с . Кроме того, при объемах выборок до нескольких сотен логарифмически нормальное распределение практически неотличимо от вейбулловского. Далее наносим точки эмпирической функции. Первая точка имеет абсциссу, равную первой наработке до отказа (в нашем примере 0,17 ч), и ординату, равную медианному рангу первого отказа (1,6% = 0,016).

Рис. 8.18. Построение эмпирической функции ИО при - часовых испытаниях тиристоров типа на надежность: функция ИО; - сглаженная функция ИО; — О - аналитическая аппроксимация сглаженной функции ИО

Вторая точка будет иметь абсциссу , ординату 0,04 и т. д. После того как нанесем на вероятностную бумагу последний отказ, построение эмпирической функции распределения будет закончено (рис. 8.17). Из рис. 8.17 видно, что в данном случае экспериментальные точки не ложатся на прямую линию, т. е. распределение отказов не описывается законом Вейбулла. Поэтому продолжим обработку данных табл. 8.3. Для этого есть два пути. Один — пробовать описать те же данные каким-либо другим законом из числа приведенных в табл. 8.1, или изобрести новый вид закона распределения отказов, или, наконец, описать экспериментальные данные суперпозицией стандартных законов. Второй и более распространенный путь — эмпирический. В соответствии с ним сначала следует построить функцию ИО.

г) Построение эмпирической функции ИО. Чтобы построить функцию к , воспользуемся формулой (9.13) и данными шестой колонки в табл. 8.3.

Вычисленные значения ИО приведены в седьмой колонке табл. 8.3. Они же нанесены на рис. 8.18, причем значение наносится в виде отрезка, параллельного оси абсцисс и ограниченного точками . То, что мы видим на рис. 8.18, представляет собой типичную картину эмпирической функции ИО. Дальнейший анализ должен дать ответ на вопрос: имеется ли у функции интенсивности тенденция к уменьшению или нет?

Если такая тенденция имеется, то эмпирические данные сначала сглаживают, а затем приближают какой-либо аналитической зависимостью (например, методом наименьших квадратов подбирают параметры распределения Макегама). Процедура проверки наличия изменения интервалов между отказами изложена в книге [8.58, с. 325], а применительно к проверке наличия изменения ИО СПП — в [8.11]. Если же тенденция к уменьшению (или увеличению) функции интенсивности отсутствует, то находят среднюю на всем интервале ИО (т. е. аппроксимируют реальное распределение отказов экспоненциальным законом) (см. табл. 8.1).

Рассмотрим оба эти случая подробно, так как кроме общей задачи обработки экспериментальных данных те же самые процедуры используются при определении наличия или отсутствия периода приработки.

д) Статистическая проверка применимости экспоненциального закона. Излагаемый ниже критерий [8.53] называется критерием Бартлетта. Для его применения необходимо вычислить следующую статистику:

где — наработка до отказа; — число отказов; . Из данных третьей колонки табл. 8.3 имеем , откуда

Выберем уровень значимости равным 0,2. Это означает, что вероятность того, что мы отвергнем гипотезу об экспоненциальном законе, когда она верна, составляет 20%.

Рис. 8.19. Номограмма распределения

При допущении об экспоненциальном распределении статистика имеет распределение с степенями свободы.Это распределение часто встречается и в задачах теории надежности, и в задачах математической статистики, и поэтому его можно найти практически в любой книге по этим дисциплинам, напримёр в [8.59]. В частности, из табл. 2.2а книги [8.59] следует, что для 20 степеней свободы в связи с тем что найденное нами значение критерия не лежит между этими числами, гипотеза об экспоненциальном законе должна быть отвергнута. В случае отсутствия таблиц распределения можно воспользоваться номограммой, взятой из [8.13] и представленной на рис. 8.19. Соединяя прямыми линиями точку 20 на правой шкале с точками 0,1 и 0,9 на левой шкале, на пересечении этих прямых с криволинейной шкалой читаем ответы: . (Как видим из этих ответов, точность номограммы вполне приемлема.)

Имеет смысл остановиться на одном принципиальном моменте. Если выбрать другое значение уровня значимости, то получим другие границы для нашей статистики, и, возможно, другой окончательный вывод. В частности, для данного конкретного случая при экспериментальные данные уже не противоречат гипотезе об экспоненциальном распределении.

В таком случае следует повторить проверку на личия тенденции изменения ИО каким-либо другим способом. В частности, можно воспользоваться непараметрическим критерием Манна, изложенным в [8.58]. Чтобы его продемонстрировать, обратимся к табл. 8.4. Ее первые три колонки воспроизводят вторую, третью и седьмую колонки из табл. 8.3. Теперь необходимо вычислить L, — число случаев, когда более ранняя наработка между отказами меньше одной из более поздних, при этом, если две наработки равны, то к значению прибавляется 1/2. Имеем: (поясним, как считается например, на третьем члене суммы. Берем и считаем число неравенств , где Имеем: 34,15 меньше 39,3; 79,7; 80; 86; 80; 41; 115; 40; 50; 150, итого число таких неравенств равно 10). Если гипотеза об экспоненциальном распределении (т. е. об отсутствии тенденции к изменению ИО) справедлива, то случайная величина L, имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием

и дисперсией

где d — число отказов.

Статистическим критерием в методе Манна является величина

Гипотеза принимается с уровнем значимости , если значение Z, вычисленное по опытным данным , меньше где критическое значение находится из условия

В данном конкретном случае имеем . Для уровня значимости значение (по таблицам нормального распределения). Следовательно, гипотеза об экспоненциальном распределении должна быть отвергнута. В связи с тем что этот вывод получен двумя различными способами, то имеем несколько большую уверенность в его справедливости. Поэтому можно перейти к следующему этапу обработки — аналитической аппроксимации эмпирических данных.

Таблица 8.4. Методика сглаживания функции ИО

е) Сглаживание функции интенсивности и аппроксимация эмпирических данных по методу наименьших квадратов. Для того чтобы построить сглаженную функцию ИО, необходимо получить убывающую последовательность значений на всех интервалах . Для этого в том случае, когда последующее (7-е) значение больше предыдущего в интервале от до проводят усреднение. Тогда новое значение ИО равно:

Таким образом, если после значения 0,72 (см. табл. 8.4) идет 2-4 (множитель опущен), то Повторяя далее эту операцию (все вычисления подробно расписаны в табл. 8.4), добиваемся того, что в последней (правой) колонке значений ИО получаем убывающую последовательность, которая изображена на рис. 8.18 точечным пунктиром. (Заметим, что можно усреднять не только попарно, но и большее число значений ) При выполнении этой процедуры необходимо тщательно следить за интервалом, на котором проводят усреднение. В табл. 8.4 этот интервал фиксировался фигурными скобками.

Таблица 8.5. Аппроксимация ИО по методу наименьших квадратов

Следуя рекомендациям [8.60], будем относить полученные значения ИО к серединам соответствующих интервалов времени. Это приводит от данных табл. 8.4 к величинам, представленным во второй и третьей колонках табл. 8.5. [Самое большое значение ИО здесь опущено, так как либо оно не помещается на графике функции , либо все остальные значения становятся ненаглядными. Чтобы аппроксимировать полученную в третьей колонке убывающую последовательность значений ИО распределением Макегама, применяют следующие уравнения [8.30]:

где . Для определения значений необходимо взять абсциссу одной из первых точек на графике и абсциссу одной из последних точек — . Тогда . Ординатами этих точек и будут значения . В данном конкретном примере мы взяли . Тогда . Соответствующие значения ИО: . Дальнейшие промежуточные вычисления приведены в табл. 8.5. В итоге получаем . Следовательно,

Теоретическая кривая, рассчитанная по формуле (8.19), показана на рис. 8.18 сплошной линией с кружочками.

Б качестве другого примера рассмотрим данные работы [8.45].

Пример 8.3. В табл. 8.6 приведены данные об отказах тиристоров типа при испытаниях в режиме импульсного циклирования. На основании данных этой таблицы нанесены соответствующие точки на рис. 8.11 (треугольники). Легко видеть, что все точки, за исключением первой и последней, хорошо ложатся на прямую линию. Пересечение этой прямой с горизонталью 63,2 происходит при N, равном приблизительно циклов . Для определения (3 можно воспользоваться вспомогательной шкалой, изображенной над сеткой распределения Вейбулла. Для этого надо провести прямую, параллельную прямой 1 так, чтобы эта параллельная прямая проходила через точку О. Тогда точка пересечения этой прямой со шкалой (3 дает искомое значение параметра формы. В данном случае . Следовательно, ВБР тиристоров типа для этого режима описывается выражением (кроме первого и последнего отказов)

Из рис. 8.11 также сразу находится циклов. Следует отметить, что в том случае, когда экспериментальные точки на вероятностной бумаге отклоняются вниз (т. е. экспериментальная кривая имеет выпуклый вверх вид), можно попытаться линеаризовать ее путем введения параметра сдвига. Продемонстрируем это на данных, приведенных на рис. 8.11. Пусть параметр сдвига циклов. Вычитаем это значение, из каждой абсциссы и наносим на вероятностную сетку точки с новыми координатами (показаны стрелками). Легко видеть, что теперь все экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую линию. Параметры скорректированного распределения: . Следовательно, имеем

Здесь уместно подчеркнуть ряд принципиальных моментов. Во-первых, подбор значения , наилучшим образом спрямляющего экспериментальные данные, проводится путем проб и ошибок. Во-вторых, функция распределения со сдвигом означает, что при (или при ) отказов не происходит. Однако не следует думать, что при этом имеет место абсолютная безотказность приборов. Дело в том, что полученное в эксперименте значение есть лишь точечная оценка. Если же построим интервальную оценку параметра сдвига, то ее нижняя граница будет равна нулю. В-третьих, данный пример иллюстрирует случай, когда выборка испытывается до отказа всех 100% приборов.

Таблица 8.6. Данные об отказах тиристоров типа пспытаниях на -стойкость,

По формуле (8.10) для этого случая

Но значения 1 ни на одной вероятностной бумаге нет, и поэтому не ясно, как наносить последнюю точку на график . Ответ заключается в том, что в этом случае вне зависимости от объема выборки надо применять формулу (8.11) или (8.12).

Вернемся к рис. 8.11 и данным об отказах тиристоров типа . Из рисунка видно, что в районе происходит излом функции распределения. Предположим, что экспериментальные данные обрабатывались бы аналитически по ГОСТ без построения графика функции . В этом случае, применяя метод наименьших квадратов, можно получить другие оценки для 0 и p. Соответствующая этим оценкам теоретическая функция показана на рис. 8.11 штрихпунктиром. Легко видеть, что полученная таким образом функция распределения имеет мало общего с реальными данными. Это как раз тот случай, когда графические методы благодаря «присутствию» человека оказываются «мощнее» и аналитических, и численных.

Теперь рассмотрим метод построения функции ИО при обработке данных по эксплуатационной надежности. В этом случае моменты отказов неизвестны, а известно лишь, сколько отказов произошло на том или ином интервале времени.

Пример 8.4. Построение функции ИО по данным эксплуатации.

В этом случае для расчета ИО надо использовать соотношение [8.13]

где — число отказавших приборов в интервале времени от до — число работоспособных приборов в начале интервала времени, .

Таблица 8.7. Расчет ИО по данным об эксплуатационной надежности,

В табл. 8.7 приведены данные, с помощью которых продемонстрируем, как надо строить функцию в этом случае. Методика расчета значения по формуле (8.20) расписана подробно в третьей колонке таблицы. Представляет интерес вопрос о том, в какой точке интервала между следует наносить это значение (это существенно не для построения ступенчатой функции ИО, а для ее аналитической аппроксимации).

Обоснованный ответ дан в [8.61] применительно к построению закона распределения отказов. В соответствии с ним, если на интервале шириной А происходит d отказов, расстояние точки эмпирической функции от начала интервала дается выражением

Поэтому, если на интервале происходит один отказ, то , если , то . То же самое следует иметь в виду, если строим ИО, а не ВБР или функцию . На рис. 8.20 показана функция ИО, построенная указанным способом по данным табл. 8.7.

Последний вопрос, который считаем необходимым здесь осветить, — это как практически определить длительность периода приработки . Вопрос этот имеет важное значение, особенно для потребителей СПП.

Возможны различные ситуации, которые рассмотрим последовательно. Первую из них демонстрирует кривая 1 на рис. 8.6. Она характеризуется наличием резкого излома на функции . Ясно, что здесь не возникает проблем, и точку излома можно считать совпадающей с . Следует иметь в виду, что плавная в одних координатах кривая может иметь излом в других. Поэтому, если кривая , не имеет ясно выраженного периода приработки в линейных координатах, можно рекомендовать построить ее в полулогарифмических и логарифмических координатах. Иногда, этот простой прием позволяет определить .

Вторая ситуация характеризуется тем, что функция ИО может быть описана аналитически и эта аналитическая функция стремится с ростом t к постоянному значению. В этом случае задача также решается просто. Покажем это на данных примера 8.2, п. . В соответствии с формулой для ИО распределения Макегама (см. табл. 8.1) имеем

так что . Примем, что концом периода приработки является момент, когда значение ИО превышает установившееся значение Е, не более чем на . Это означает, что

откуда

Величина m обычно равна . Ее выбор не может быть формализован и проводится из интуитивных соображений. Возвращаясь к численным данным примера 8.2, п. , имеем . Пусть тогда из (8.21) получаем

Это значение показано стрелкой на рис. 8.18.

Наконец, третья ситуация характерна тем, что не наблюдается резкого излома ИО. Напротив, ход функции исключительно плавный (см., например, рис. 8.6, кривые 2 и 5). Построение тех же функций в других координатах показывает, что никакого излома не появляется. Здесь возможны два варианта. В одном из них период приработки отсутствует. В этом нет ничего необычного. Построение кривой 5 на рис. 8.6 в логарифмических координатах показало, что все точки хорошо ложатся на прямую линию, т. е. имеет место распределение Вейбулла со значением (3, меньшим единицы.

Рис. 8.20. Построение эмпирической функции ИО по данным эксплуатации: - эмпирическая функция ИО; — значения ИО, по которым, строится аналитическая аппроксимация

Во втором варианте можно рекомендовать следующее. Взяв эмпирическое значение ИО в точке максимальной наработки, определим для него доверительные границы и проведем через верхнюю границу ИО горизонталь до пересечения с функцией . Абсциссу точки пересечения можно принять за значение . Этот подход проиллюстрирован рис. 8.20. Сначала по исходным данным найдем . Имеем (табл. . Воспользуемся номограммой биномиального распределения. Для этого вместо надо взять такое меньшее значение (так как на номограмме n ограничено значением 1000), чтобы прямая, проводимая через точки и , не выходила за край левой шкалы. Пусть, как и раньше, Удобно взять n таким, чтобы оно совпадало с одним из делений номограммы. Выберем Тогда прямая линия, соединяющая точку 0,95 на правой шкале и точку (500,9) на сетке, пересекает левую шкалу в точке Аналогично прямая линия, соединяющая точку 0,05 на правой шкале и точку (500,10) на сетке, пересекает левую шкалу в точке Значения , соответствующие истинному объему данных, найдутся из соотношений

Из (9.22) получаем, что , откуда Так как то . Нанесем этот интервал на рис. 8.20 и проведем горизонталь через значение ИО, равное . Точка пересечения этой горизонтали с кривой и дает значение периода приработки: .