Курс локальной дифференциальной геометрии

  

Ж. Фавар. Курс локальной дифференциальной геометрии / Пер. с франц. Ю.А. Рожанской и С.П. Финикова. Изд-во Иностранной литературы, М. 1960 г.

Предлагаемая книга написана на основе курса лекций по основным вопросам дифференциальной геометрии, читанных автором в Сорбонне. Материал в ней излагается в нестандартной форме: автор стремился изложить классические результаты в свете идей современной математики (главным образом теоретико-множественных и теоретико-групповых) и, с другой стороны, максимально приблизить читателя к вопросам, разрабатываемым в настоящее время.

Книга будет интересна в первую очередь математикам, особенно геометрам, — студентам старших курсов университетов и педагогических институтов, аспирантам, преподавателям и научным работникам.


Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ
2. Топологические пространства.
3. Подпространства.
4. Непрерывные функции.
5. Гомеоморфизм.
6. Метрические пространства.
7. Полные пространства. Компактные пространства и множества.
8. Связные пространства и множества.
9. Эвклидово аморфное пространство.
10. Симплексы. Комплексы.
11. Размерность. Кривые и поверхности. Канторовы многообразия.
12. Дифференцируемые многообразия.
13. Общие свойства групп.
14. Преобразования. Группы преобразований.
15. Топологические группы.
16. Группы Ли.
17. Геометрические объекты. Транзитивность и интранзитивность. Ориентация.
18. Группы Ли классических геометрий.
19. Группа движений.
20. Аффинная группа.
21. Проективная группа.
22. Группы дифференциальной геометрии.
23. Дополнение о коллинеациях.
Глава II. ДОПОЛНЕНИЕ К АЛГЕБРЕ. ТЕНЗОРЫ
1. Векторное центро-аффинное пространство Сn.
2. Тензорные произведения центро-аффинных пространств. Тензоры.
3. Аффинные тензоры.
4. Соглашение об обозначениях.
5. Операции над аффинными тензорами.
6. Симметричные и антисимметричные тензоры.
7. Антисимметричные контравариантные тензоры. Мультивекторы.
8. Антисимметричные ковариантные векторы. Внешние формы.
9. Внешние квадратичные формы. Теорема Картана.
10. Эвклидовы тензоры.
11. Элементарный тензорный анализ.
Глава III. ДОПОЛНЕНИЯ К АНАЛИЗУ: ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРУППАМ ЛИ И К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
1. Внешние дифференциальные формы.
2. Система Пфаффа. Теорема Фробениуса.
3. Группы Ли. Инфинитезимальные преобразования. Относительные и абсолютные компоненты.
4. Первая теорема Ли.
5. Группа параметров.
6. Уравнения структуры Эли Картана.
7. Уравнения структуры классических групп.
8. Элементы касания, погруженные в многообразие. Продолжение группы преобразований.
9. Общая теория погруженных многообразий.
10. Метод подвижного репера Эли Картана.
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ. ПРЯМАЯ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
2. Вложенные многообразия. Основной локальный инвариант. Обыкновенные точки.
3. Контингенция. Паратингенция.
4. Аналитические многообразия. Регулярные точки.
5. Элементы касания в аффинном пространстве.
6. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся полуплоскость кривой в пространстве E3. Вогнутость.
Глава II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ
2. Касание двух кривых.
3. Касание кривой и поверхности.
4. Касание двух поверхностей.
Глава III. ОГИБАЮЩИЕ
2. Огибающие плоских кривых.
3. Огибающие поверхностей, зависящих от одного параметра.
4. Огибающие поверхностей, зависящих от двух параметров.
5. Огибающие пространственных кривых, зависящих от одного параметра.
6. Конгруэнции кривых.
Глава IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ
1. Примыкающие элементы касания.
2. Преобразования касания.
3. Примеры.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ. КЛАССИЧЕСКИЕ ГЕОМЕТРИИ
Глава I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
2. Формулы Серре-Френе.
3. Триэдр Френе.
4. Кривизна и кручение.
5. Положение кривой в окрестности точки по отношению к триэдру Серре — Френе. Знак кручения.
6. Определение кривой ее натуральными уравнениями.
7. Винтовые линии.
8. Конгруэнция нормалей к пространственной кривой.
9. Замечания.
10. Изотропные кривые (или минимальные линии).
Глава II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ТРИЭДР ФРЕНЕ
1. Триэдр Френе.
2. Особые случаи.
3. Поверхности, инвариантные относительно группы движений.
4. Теоремы равенства и существования.
5. Вычисление инвариантных линейных форм и кривизн.
6. Геодезические свойства. Внешние свойства.
Глава III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
2. Минимальные линии (линии нулевой длины).
3. Конформное отображение одной поверхности на другую. Изотермические координаты.
4. Изометрия. Полная кривизна.
5. Изометричные поверхности.
6. Группа изометрии линейных элементов ds2 постоянной кривизны.
7. Поверхности, изометричные плоскости.
8. Вопросы анализа на поверхности.
9. Геодезические линии («внешняя» теория).
10. Геодезическая кривизна.
11. Поле векторов. Ковариантные частные производные Параллельный перенос.
12. Формула Оссиана Бонне.
13. Поле тензоров. Ковариантная производная.
Глава IV. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
2. Расположение поверхности по отношению к касательной плоскости. Обыкновенные точки второго порядка.
3. Асимптотические линии.
4. Сопряженные направления. Сопряженные семейства кривых.
5. Триэдр Френе для кривой, проведенной на поверхности. Теоремы Менье и Оссиана Бонне.
6. Кривизна нормальных сечений. Индикатриса Дюпена.
7. Главные направления. Главные кривизны.
8. Линия кривизны. Эволюты, или поверхности центров кривизны поверхности.
9. Конгруэнции нормалей.
10. Примеры.
11. Сферическое изображение. Третья квадратичная форма поверхности.
12. Относительное кручение. Четвертая квадратичная форма.
13. Точечные преобразования и преобразования касания, сохраняющие асимптотические линии.
14. Точечные преобразования, сохраняющие линии кривизны.
15. Преобразование Ли. Преобразования касания, сохраняющие линии кривизны.
16. Возвращение к условиям интегрируемости.
Глава V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
1. Плюккеровы координаты.
2. Линейчатые поверхности.
3. Конгруэнции прямых.
4. Линейчатые поверхности конгруэнции.
5. Вычисление инвариантов. Квадратичные формы.
6. Формула Эли Картана. Конгруэнции нормалей.
7. Изотропные конгруэнции.
8. Комплексы прямых.
9. Срединные линии. Кривые, касательные к которым принадлежат комплексу. Линейные комплексы.
10. Подсчет инвариантных линейных форм и инвариантов. Конгруэнции и линейчатые поверхности комплекса.
ВТОРОЙ РАЗДЕЛ. АФФИННАЯ УНИМОДУЛЯРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2. Теория плоских кривых.
3. Геометрическая интерпретация. Конические сечения.
4. Теория пространственных кривых. Репер Френе.
5. Вычисление аффинной дуги и инвариантов. Пространственные кривые третьего порядка.
Глава II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Репер Френе. Общие случаи.
2. Поверхности второго порядка (не развертывающиеся). Линейчатые поверхности.
3. Развертывающиеся поверхности.
4. Приведенные уравнения.
5. Соприкасающиеся квадрики. Касательные Дарбу.
6. Квадрика Ли.
7. Поверхности, инвариантные относительно транзитивной группы.
8. Кривые, лежащие на поверхности.
9. Алгебраические дифференциальные инвариантные формы.
10. Условия интегрируемости в терминах форм ...
ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Формулы перемещений репера. Перемещения коррелятивного репера.
2. Теория плоских кривых. Репер Френе.
3. Конические сечения.
4. Вычисление проективной дуги и проективной кривизны. Приведенное уравнение. Секстактические точки.
5. Ангармоническое отношение четырех точек.
6. Огибающие прямых.
7. Теория пространственных кривых.
8. Теория поверхностей. Репер Френе.
9. Уравнение, приведенное в окрестности точки.
10. Коррелятивная точка зрения. Огибающие плоскостей.
11. Проективная наложимость.
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ. ТЕОРИЯ ПЕРЕНЕСЕНИЯ
Глава I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ. ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
2. Группа голономий.
3. Линейные аффинные связности. Эквивалентность.
4. Тензоры кривизны и кручения.
5. Ковариантная производная тензора.
6. Тождества Бианки.
7. Вычисление компонент тензоров кривизны и кручения.
8. Параллельный перенос. Геодезические.
9. Основная теорема.
10. Изучение связности в окрестности точки.
11. Геодезические наложения.
12. Поля параллельных контравариантные векторов.
13. Разложимые пространства.
14. Эквиаффинная связность.
15. Метрические связности. Пространства Эддингтона, Вейля и Эйнштейна.
16. Проективные связности.
17. Проективные тензоры.
Глава II. РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
2. Геодезические. Экстремальное свойство. Аналитические римановы пространства.
3. Кривизна пространства в направлении площадки. Пространства постоянной кривизны
4. Тензор конформной кривизны.
5. Движения.
6. Разложимые пространства.
7. Теория кривых.
8. Вложенные многообразия.