Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Примеры.

1° Развертывающиеся поверхности. Если поверхность развертывающаяся, то ее образующие составляют первое семейство линий кривизны, так как вдоль образующей нормаль остается параллельной фиксированному направлению. Другое семейство будет состоять из ортогональных траекторий образующих, которые будут служить эвольвентами ребра возврата; их, следовательно, можно получить одной квадратурой.

Одна фокальная полость конгруэнции нормалей уходит в бесконечность, другая является огибающей спрямляющих плоскостей ребра возврата.

Для конуса второе семейство линий кривизны образовано линиями пересечения конуса сферами с центром в его вершине; для цилиндров она состоит из ортогональных сечений.

Непосредственно видно, что, для того чтобы прямая была линией кривизны на поверхности, касательная плоскость вдоль этой прямой должна быть неподвижной, отсюда следует, что развертывающиеся поверхности — единственные поверхности, допускающие семейство прямых в качестве линий кривизны.

2° Поверхности вращения. Если поверхность вращения, то нормали вдоль всякого меридиана будут лежать в плоскости этой кривой; следовательно, меридианы образуют первое семейство линий кривизны; и в каждой точке центр главной кривизны и центр кривизны меридиана совпадают.

Другое семейство линий кривизны состоит из параллелей; вдоль параллели нормали образуют конус вращения с вершиной на оси поверхности; в произвольной точке соответствующий главный центр кривизны лежит на пересечении нормали с осью вращения.

Следовательно, из двух полостей поверхности центров одна будет осью вращения (или частью этой оси), а другая — поверхностью вращения с той же осью, описываемой плоской эволютой меридиана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление