Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Линейчатые поверхности.

Линейчатая поверхность описываемая прямой будет ориентирована, если выбрать на каждой образующей положительное направление, меняющееся непрерывно; мы будем отличать ее от поверхности получаемой ориентацией образующих в противоположном направлении.

Таким образом, будет определена, если, например, задать векторы или же векторы и кривую на которую опирается прямая

С каждой образующей свяжем триортогональные триэдры (триэдры нулевого порядка) где вершина пробегает прямую в то время как вектор равен Они зависят от двух вторичных параметров: один фиксирует положение точки на прямой другой представляет собой параметр вращения триэдра около прямой Возвращаясь к формулам (I, 1.1, 1.2 и 1.3), оставляя образующую неподвижной и варьируя только вторичные параметры, что равносильно предположению допущению, что вектор коллинеарен вектору мы видим, что четыре компоненты

равны нулю. Это означает, что эти формы являются главными компонентами, т. е. не содержат дифференциалов вторичных параметров; имеются две вторичные компоненты, это будет

Оставим в стороне случай поверхностей с изотропными образующими, который будет рассмотрен в упражнениях, а также тот случай, когда или поскольку поверхность тогда будет цилиндром (с точки зрения эвклидовой геометрии она характеризуется ортогональным сечением; следовательно, изучение цилиндров сводится к изучению плоских кривых).

Предположим, следовательно, что две формы не равны нулю одновременно, пусть, например, поскольку она содержит только один параметр, главные компоненты будут кратными этой формы, и мы положим

С помощью внешнего дифференцирования, принимая во внимание (I, 1.2 и 1.3), получаем

откуда для вариации вторичных параметров имеем

Следовательно, фиксируя вторичный параметр, можно нормировать триэдр так, чтобы

Первое из полученных соотношений дает после внешнего дифференцирования

откуда

Мы можем, следовательно, фиксировать триэдр Френе (триэдр первого порядка), полагая

Инвариантной формой будет так как теперь мы положим затем положим

Будем обозначать через с вершину триэдра Френе — точку, называемую центральной точкой образующей; геометрическое место точек с называется стрикционной линией поверхности, линией сжатия или горловой линией. Формулы перемещений триэдра имеют вид

Скаляры являются инвариантами поверхности, задание их как функций параметра а достаточно для определения линейчатой поверхности с точностью до перемещения; мы дадим их геометрическую интерпретацию.

Если провести через начало О прямые, параллельные прямой то они определят конус, называемый направляющим конусом поверхности. Конец вектора с началом в точке О и равного вектору описывает сферическую кривую у на сфере радиуса 1, с центром в точке О, которая будет одним из сечений сферы направляющим конусом. Второе из уравнений (2.1) показывает, что

значит а будет криволинейной абсциссой на линии у, вектор касательным к линии у, а вектор ее геодезической нормалью. Группа из трех последних формул (2.1), с точностью до порядка, есть не что иное, как формулы (II, 5.1) относительно триэдра Френе кривой, лежащей на сфере как на сфере имеем и при выбранной ориентации будет, следовательно, геодезической кривизной линии обозначениях имеем . В том случае, когда направляющий конус вырождается в плоскость; соответствующие поверхности, все образующие которых параллельны этой плоскости, называются коноидами.

Если тождественно равно нулю, то производная коллинеарна вектору и речь будет идти о развертывающейся поверхности, у которой геометрическое место точек с будет ребром возврата, на котором за параметр принята дуга ее сферической индикатрисы. Обратно, на всякой развертывающейся поверхности кривизна равна нулю.

Если не обращается тождественно в нуль, то говорят, что линейчатая поверхность — косая; ее касательная плоскость в точке определяется двумя векторами

или векторами

она проходит через образующую и, когда параметр неограниченно возрастает, стремится к плоскости называемой асимптотической плоскостью. В центральной точке это будет плоскость называемая центральной плоскостью, откуда следует определение центральной точки: эта точка, в которой касательная плоскость перпендикулярна асимптотической плоскости.

Пусть угол, образуемый с центральной плоскостью касательной плоскостью в точке с абсциссой отсчитываемой от центральной точки. Непосредственно видно, что

инвариант указывает скорость, с которой поворачивается касательная плоскость около образующей, когда точка касания перемещается; его называют параметром распределения. Знак показывает, в каком направлении вращается касательная плоскбсть для наблюдателя, расположенного вдоль образующей, когда точка касания по отношению к нему поднимается.

На косой линейчатой поверхности образующие, для которых равно нулю, будут исключительными, они называются стационарными

(или особыми); касательная плоскость вдоль такой образующей не меняется.

Что касается инварианта то первую его интерпретацию мы получим, рассматривая угол касательной стрикционной линии с вектором Ко второй интерпретации мы придем, отыскивая ортогональные траектории образующих; поскольку

то ортогональные траектории получаются, если потребовать, чтобы что дает

Поверхности, для которых характеризуются тем, что их стрикционная линия касается вектора , а последняя из формул (2.4) показывает, что соприкасающаяся плоскость этой кривой будет Следовательно, эти поверхности описываются бинормалями пространственной кривой. Без труда доказывается и обратное предложение.

Рассмотрим, что происходит при изменении направления на линии у и переходе от поверхности к поверхности При изменении направления движения по линии у дуга заменяется на векторы на векторы — при этом меняют знак, не изменяется. При переходе от поверхности к поверхности — вектор заменяется на вектор на также меняют знак, не изменяется.

Окончательно можно сказать, что задание трех инвариантов

в виде функций параметра определяет линейчатую поверхность с точностью до перемещения.

Не останавливаясь на подсчете определение которого непосредственно дает метод его вычисления, мы обратимся к подсчету других элементов; имеем сначала

Если допустить, что линейчатая поверхность задана при помощи направляющей кривой и положить

то мы определим с, замечая, что откуда

Теперь параметр распределения немедленно подсчитываётся по формулам

Для имеем

откуда с помощью (2.6) находим

Если прямая задаётся своими плюккеровыми координатами то можно положить принимая во внимание, что получаем, например,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление