Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Линейчатые поверхности конгруэнции.

Линейчатая поверхность, образованная лучами конгруэнции, будет определяться соотношением между параметрами или кривой на сфере Рассмотрим те поверхности, которые, проходя через заданную образующую имеют одну и ту же асимптотическую плоскость. Поскольку эта плоскость определяется векторами мы видим, что или будет одним и тем же для этих поверхностей [их направляющие конусы будут касаться вдоль образующей ]. Центральная точка образующей будет определена, если написать

откуда

Что касается параметра распределения, для него имеет место [формула (2.7) и формула (3.7)] равенство

Мы видим, таким образом, что центральная точка а параметр распределения будут одними и теми же для двух поверхностей, конгруэнции, проходящих через одну и ту же образующую, вдоль которой они имеют общую асимптотическую плоскость; значит, касательная плоскость будет одна и та же в каждой точке, и поверхности будут касаться вдоль общей образующей.

Рассмотрим направления которые мы будем называть главными направлениями конгруэнции вдоль ее образующей, и обозначим буквой угол некоторого направления на плоскости с вектором формулы (4.1) и (4.2) запишутся следующим образом:

Они дают вариацию абсциссы центральной точки, отсчитываемой от средней точки, и в виде функций угла и двух инвариантов так называемых главных параметров распределения; они получены соответственно Гамильтоном и Мангеймом; это формулы, аналогичные формулам Оссиана Бонне и Эйлера в теории поверхностей. Главными плоскостями конгруэнции называют плоскости, проходящие через луч конгруэнции и содержащие одно из главных направлений; они ортогональны. Поверхности, след направляющего конуса которых на сфере все время касается главного направления, называются главными линейчатыми поверхностями (они играют роль, аналогичную линиям кривизны на поверхности); через всякую образующую проходят две такие поверхности; эти поверхности можно также характеризовать тем, что их центральная точка совпадает со средней точкой луча конгруэнции.

Формула (4.3) показывает, что центральные точки перемещаются на отрезке длины с центром в средней точке. Концы этого отрезка соответствуют значениям и называются граничными точками луча; они имеют абсциссы если отсчитывать их от средней точки. Две асимптотические плоскости, которые соответствуют граничным точкам, называют граничными плоскостями, проходящими через луч; они ортогональны и образуют с главными плоскостями угол

Наконец, образующая линейчатой поверхности будет стационарной, если след ее направляющего хонуса на сфере будет касаться направления, для которого линейчатые поверхности (аналогичные асимптотическим линиям поверхности), для которых все

время будут развертывающимися поверхностями конгруэнции.

Фокальные плоскости будут задаваться направлениями, для которых угол определяется соотношением

отсюда следует, что фокальные плоскости, как и граничные плоскости, имеют биссекторами главные плоскости. Полагая имеем фокусы и определяемые равенствами

середина отрезка между ними будет средней точкой, геометрическим местом фокусов будут две фокальные поверхности; они будут действительными только для и тогда они будут располагаться между граничными точками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление