Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Комплексы прямых.

При изучении трехпараметрических семейств прямых, или комплексов, мы ограничимся общим случаем, оставляя в стороне все многочисленные частные случаи, которые могут лредставиться. Прежде всего мы будем предполагать, что сферическое изображение прямых комплекса содержит всю окрестность сферы Причем комплекс определяется, например, векторами

Определяя триэдры нулевого порядка, как и выше, вернемся к уравнениям (I, 1.1, 1.2 и 1.3) и будем предполагать, что формы линейно независимы. Тогда можно записать

что дает с помощью внешнего дифференцирования

При вариации вторичных параметров имеем

последнее из этих соотношений записывается так: следовательно, можно нормировать триэдр, принимая (тогда , кроме случая который мы будем исключать).

Предыдущие соотношения превращаются в следующие:

значит, можно завершить нормирование, принимая Триэдр первого порядка будет триэдром Френе, коэффициент будет инвариантом, который мы обозначим через х и который будем называть параметром вращения; формы будут инвариантными линейными формами; вершина триэдра будет называться серединой образующей. Положим

имеем шесть новых инвариантов. Смещения триэдра Френе будут задаваться уравнениями

условия интегрируемости запишутся так:

Дадим «геометрическое определение середины луча и параметра вращения; будем рассматривать фиксированную точку и положим конус комплекса с вершиной будет определяться равенством или

Если, кроме того, зафиксировать образующую то касательная плоскость к конусу вдоль будет определяться векторами и

значит, векторами Эта плоскость является плоскостью (срединной плоскостью) в середине луча, она стремится к плоскости (к асимптотической плоскости), если точка неограниченно удаляется па образующей, середина луча может, следовательно, быть определена как вершина конуса комплекса, где касательная плоскость вдоль образующей будет ортогональной асимптотической плоскости.

Угол который образует касательная плоскость к конусу с вершиной со срединной плоскостью, определяется равенством

параметр вращения указывает, следовательно, на быстроту, с которой эта плоскость поворачивается около образующей, когда вершина конуса перемещается по образующей.

Если тождественно то формулы (8.5) дают тогда

вектор зависит только от двух независимых линейных форм, которые образуют вполне интегрируемую систему; точка описывает тогда поверхность (или кривую, если, кроме того, поскольку направления касательны к этой поверхности, мы видим, что

Комплексы, у которых параметр вращения тождественно равен нулю, будут состоять из прямых, касательных к некоторой поверхности или опирающихся на некоторую кривую.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление