Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Подсчет инвариантных линейных форм и инвариантов. Конгруэнции и линейчатые поверхности комплекса.

Пусть дан некоторый комплекс, произвольная прямая которого задается, например, вектором и точкой . Мы будем рассматривать следующие три квадратичные формы:

Две первые называются основными, их можно вычислить, исходя предыдущих данных. Покажем сейчас, как можно тогда

подсчитать третью форму, а также инвариантные линейные формы, и определить середину луча комплекса. Имеем

но в проективной плоскости формы I и II, если их приравнять нулю, будут представлять конические сечения; первая — коническое сечение, распадающееся на пару прямых, проходящих через точку вторая — коническое сечение, также проходящее через эту точку. Следовательно, имеется только одно значение параметра х, для которого коническое сечение пучка распадается на пару прямых, из которых одна проходит через предыдущую точку и касается конического сечения

Таким образом, мы можем подсчитать после того, как это сделано, мы видим, что одна из прямых, на которые распадается коническое сечение и только одна касается конического сечения это дает с точностью до множителя; формула (10.2) дает затем форму и далее форму с точностью до знака; выражение формы I даст нам тогда все время с точностью до знака; если выбрать определенным образом эти знаки, то можно подсчитать форму III.

Остается определить середину луча; полагая имеем

откуда следует

Рассмотрим теперь конгруэнцию, образованную из лучей комплекса и определяемую заданием ( как функций двух параметров; после дифференцирования это дает соотношение вида

две конгруэнции, для которых величины коэффициентов будут одни и те же для одной образующей, называются касающимися вдоль этой образующей.

Параметр распределения линейчатой поверхности конгруэнции, проходящей через заданную образующую, дается формулой

Мы видим, что для конгруэнции, у которой на этой образующей выполняется соотношение

эта образующая будет омбиликальной таким образом:

Середина образующей является средней точкой конгруэнции комплекса, для которой эта образующая будет омбиликальной; параметр вращения на этой образующей является параметром распределения линейчатых поверхностей конгруэнции, проходящих через эту образующую.

Положив теперь

получим

откуда определятся два главных параметра распределения и получатся соотношения

Обозначая через среднюю точку, имеем [формула (5.5)]

откуда

эти формулы дают нам интерпретацию коэффициентов

Принимая во внимание определение, приведенное в § 5 для фокусов и граничных точек, легко находим

и видим, что в действительной области граничные точки всегда будут лежать по разные стороны от середины луча.

Конгруэнции нормалей задаются соотношением и мы имеем

- середина луча разделяет фокусы; это последнее соотношение очевидно в силу равенства (8.6), если принять во внимание, что фокальные плоскости взаимно перпендикулярны.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление