Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Квадрика Ли.

Среди соприкасающихся квадрик некоторой поверхности в некоторой ее точке одна из них, рассмотренная Ли, представляет особый интерес. Мы сейчас ее определим.

Линейчатая поверхность второго порядка в общем случае вполне определяется тремя прямыми; поэтому возьмем сначала в качестве исходной поверхности линейчатую поверхность. Заданная прямолинейная образующая и две близких образующих определяют квадрику, имеющую предел когда две последние образующие стремятся к заданной. Вторая система прямолинейных образующих квадрики состоит из прямых, встречающих три бесконечно близких образующих исходной поверхности. Поэтому квадрика состоит из прямых, имеющих с поверхностью касание второго порядка, т. е. из прямых, являющихся асимптотическими касательными вдоль рассматриваемой образующей.

Рассмотрим теперь поверхность с действительными асимптотическими линиями. Пусть асимптотические направления в некоторой точке соответствующие асимптотические линии. Рассмотрим некоторую точку Прямые проведенные через все точки на , образуют линейчатую поверхность, для которой мы рассмотрим квадрику Ли Аналогичным образом можно определить квадрику исходя из Мы покажем, что квадрики совпадают и, таким образом в каждой точке на будет определена проективно инвариантная квадрика — квадрика Ли.

Возвращаясь к уравнениям найдем в заданной точке уравнение квадрики определенной кривой проходящей

через эту точку. Имеем

Так как зависит только от одного параметра, то можно положить Линейчатая поверхность, образованная асимптотическими касательными определена уравнением

где — новый параметр. Асимптотическое направление, отличное от направления образующей, определяется уравнением

что дает после приведений

Направление асимптотической касательной в точке есть

и поверхность имеет параметрическое представление

или, если взять за направляющие векторы осей

что дает уравнение

Заметим, что это величина отношения на линиях Так как , то является также величиной отношения на линиях Вторая асимптотическая линия определяет, таким образом, ту же квадрику, что и доказывает сформулированный выше результат.

Мы видим, что квадрика Ли имеет центр на аффинной нормали, что дает другую интерпретацию этого направления.

В случае линейчатой поверхности (в обозначениях § 2) в уравнениях (6.1) нужно заменить на .

В эллиптическом случае приведенное выше определение квадрики Ли годится только в предположениях аналитичности. Мы введем в дальнейшем другое определение. Здесь же мы ограничимся определением ее в том смысле, что, взяв в качестве осей

можно аналитически привести эллиптический случай к гиперболическому: дело сводится здесь к простому упражнению на замену переменных. При обозначениях уравнение поверхности второго порядка Ли в системе координат, определенной имеет вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление