Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Теория пространственных кривых.

Рассмотрим пространственную кривую С, геометрическое место точек реперы нулевого - порядка присоединенные к этой точке, будут иметь ее своей вершиной, будут главными компонентами, и мы будем иметь

Мы отправляемся от реперов первого порядка, для которых прямая будет касательной к кривой; тогда равенства, из которых внешним дифференцированием получаем с помощью формул (1.4)

что дает, далее,

отсюда получаем уравнения в вариациях

Если то и редукция не может продолжаться; линия С сводится к прямой. В общем случае параметры а к а испытывают однородное линейное преобразование общего вида; следовательно, можно определить реперы второго порядка, приняв, например, и внося эти значения в уравнения (7.1), и

Отсюда

определяется с точностью до множителя; для определения реперов третьего порядка принимаем прежде всего подвергается общему линейному преобразованию; мы заканчиваем определение этих реперов, полагая Оставим в стороне случай, когда показав, что можно ориентировать репер таким образом, что мы будем иметь:

Реперы третьего порядка:

Отсюда

испытывают общее линейное преобразование при вариации вторичных параметров; реперы четвертого порядка определяются, если положить Отсюда:

Отсюда следуют равенства

Легко написать уравнения в вариациях; мы видим, что претерпевает линейное преобразование: можно произвести нормирование, приняв далее, также претерпевает линейное преобразование, так что можно принять также откуда следуют равенства это дает нам вместе с предыдущими соотношениями Остаются только две вторичные компоненты, и мы напишем:

Новое внешнее дифференцирование дает

Если то редукция дальше не может продолжаться. Если то можно произвести нормирование, приняв мы не будем рассматривать этого случая. Допустим, что тогда второе уравнение в вариациях (7.5) показывает, что можно произвести нормирование, положив параметр испытывает тогда линейное преобразование, и его можно нормировать, положив Мы рассмотрим только случай, когда тогда не остается более вторичных параметров, и мы имеем

Положим

есть инвариантная дифференциальная форма (дифференциал проективной дуги), инварианты — проективные кривизны. Формулы Френе будут иметь вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление