Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Параллельный перенос. Геодезические.

Пусть кривая на Предположим, что с каждой ее точкой связан контравариантный вектор Построим изображение кривой С, начиная с одной из ее точек Мы скажем, что переносится

параллельно вдоль С, если образы в репере параллельные векторы. Это значит, что коллинеарен что можно записать, в силу определения ковариантного дифференцирования, в виде

где К есть функция точки на С.

Очевидно, начальная точка изображения кривой не играет никакой роли.

В частности, если мы хотим переместить вдоль С, отправляясь от точки некоторое направление параллельно самому себе, то достаточно проинтегрировать систему

отправляясь от вектора лежащего на этом направлении в

Рассмотрим, в частности, кривые, называемые геодезическими, вдоль которых касательная претерпевает параллельный перенос: это кривые, изображения которых представляют собой прямые. Их определение не содержит начальной точки т. е. если произвольная точка этой кривой, то эта кривая будет также геодезической, исходящей из Чтобы получить уравнения геодезических, можно либо написать уравнения (8.1) для либо написать, что коллинеарно Но так как

(где есть алгебраический дифференциал), то мы получаем систему уравнений

где К обозначает функцию точки. Положим, например, Тогда эта система запишется в виде

Определим теперь параметр равенством

Уравнения (8.4) примут вид

Другими словами, можно всегда выбрать параметр таким образом, чтобы было равно нулю в уравнениях (8.3) и (8.4). В силу своего определения есть аффинный параметр (наиболее общий такой параметр имеет вид Из результатов, относящихся к дифференциальным уравнениям, а также из гипотезы, сделанной относительно связности, т. е. относительно следует, что, вообще говоря, существует единственная геодезическая, исходящая из точки и допускающая в ней касательную заданного направления

Если положить то уравнения (8.3) и (8.4) совпадут с уравнениями (8.1). Если взять 5 в качестве параметра, то эти уравнения примут форму (8.2), т. е. они эквивалентны равенствам

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление