Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Основная теорема.

Всякой связности (3.1) многообразия мы сопоставили два тензорных поля кривизны и кручения (а также поля их ковариантных производных возрастающих порядков по правилам § 5). Здесь мы ставим себе обратную задачу, будет ли знание этих тензоров в некоторой окрестности на многообразии определять связность.

Рассмотрим геодезические, проходящие через точку (мы предположим для упрощения записи, что покрывающие целую окрестность этой точки (например, с достаточно малым Будем определять их точки при помощи параметра Положим на геодезической, определенной уравнениями (8.5),

Уравнения (8.5) дают

откуда

Следовательно, в некоторой окрестности точки образуют систему координат, называемую нормальной в точке Всякая другая нормальная система координат должна быть такой, что уравнения геодезических, проходящих через имеют форму

Всякому вектору связанному с преобразование ставит в соответствие некоторый вектор и наоборот; следовательно, это наиболее общее центро-аффинное преобразование

где константы и

Приведя координаты к нормальному виду, мы теперь канонизируем представление связности, потребовав, чтобы перенос репера в вдоль всякой геодезической был параллельным переносом, т. е. чтобы

или

Положим тогда где произвольные константы, рассмотрим бесконечно малый контур с вершинами

Вернемся к формулам (4.1). Они запишутся в виде

откуда, обозначая через и компоненты тензоров кручения и кривизны в выбранной системе координат, имеем

Но представимо в виде

откуда

Рассматривая и как константы, мы видим, что будут функциями одного Положим поэтому отсюда

уравнения (9.1) запишутся в виде

Это линейная дифференциальная система (интегрирования которой можно свести к квадратурам), которая позволяет определить по их начальным значениям для Проведя интегрирование, мы подставим в результат, заменив затем и через соответственно; тогда получим определяющие связность. Мы можем высказать следующий результат:

Знание тензоров кручения и кривизны в каждой точке многообразия линейной аффинной связности достаточно для определения этой связности.

Другими словами, если между двумя многообразиями с линейной аффинной связностью можно установить такое точечное соответствие, что тензоры кривизны и кручения будут равны в соответствующих точках, то связности могут быть представлены, по-крайней мере локально, одними и теми же уравнениями (3.1) с точностью до обозначений. Два таких пространства называются эквивалентными или наложимыми.

Геометрия многообразия снабженного связностью полностью определяется, по крайней мере локально, заданием тензоров кручения и кривизны.

Из формул типа (5.5) и (5.6) (с условием в начале координат) следует, с другой стороны, что знание последовательных ковариантных производных тензора позволяет определить дифференциалы его компонент в репере, связанном с каждой точкой, и, далее, их частные производные. Рассмотрим случай аналитической связности в окрестности некоторой точки. Формулы (4.4), (4.5) и (4.6) показывают прежде всего, что тензоры кручения и кривизны — аналитические функции координат. Задание последовательности их частных производных определяет их в целой окрестности. Итак:

Аналитическая связность локально определяется заданием в некоторой точке тензоров кручения и кривизны и последовательности их ковариантных производных.

Замечание. Плоская связность. Когда тензоры кручения и кривизны тождественно равны нулю то уравнения (4.4) являются уравнениями структуры аффинной группы; пространство поэтому локально эквивалентно аффинному пространству связность, определенная в является плоской связностью. Из уравнений (9.2) мы непосредственно получаем интегрированием, что это естественная связность для

Формула (5.5) показывает тогда, что ковариантный дифференциал совпадает с обыкновенным дифференциалом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление