Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Эквиаффинная связность.

В предыдущем изложении мы положили основу перенесения общую аффинную группу. Мы поставим теперь себе задачу изучить теорию перенесения геометрий линейного касательного пространства, в котором введена структура более узкой группы, и прежде всего унимодулярной (эквиаффинной) группы.

Эта последняя может быть определена прежде всего заданием в каждой точке объема, определенного векторами скажем заменой базиса можно всегда добиться, чтобы

Получив изображение кривой, мы можем вывести на ней аффинную унимодулярную геометрию.

Имеем

откуда с точностью до третьего порядка при обходе бесконечно малого цикла имеем (§ 3)

Предыдущее выражение дает для

откуда внешним дифференцированием получаем

(так как тождественно равно нулю); но

Мы получаем таким образом интерпретацию свернутого тензора кривизны который мы назовем тензором объемной кривизны. Если он не равен нулю, это означает, что мы не возвращаемся, вообще говоря, к тому же значению для объема при обходе соответствует факту, что репер не совпадает с репером Если он равен нулю, то есть полный дифференциал, скажем, Взяв тогда в качестве базиса — мы имеем

откуда

и в этой форме очевидно, что связность сохраняет объем.

Более общая задача — перенос меры объемов по правилу, зависящему от выбора пути. Так как при этом играет роль только изменение от одной точки к другой, то мы зададим в качестве выражения для дифференциальную линейную форму, скажем,

где обозначает поле ковариантных векторов. Имеем

Величины

являются, таким образом, компонентами антисимметричного тензора кривизны переноса объема. Если этот тензор есть нуль, то — градиент [формула (5.10)], и мы возвращаемся к предыдущему случаю, когда есть функция точки

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление