Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Геодезические. Экстремальное свойство. Аналитические римановы пространства.

Предположим сначала, что форма (1.1) положительно определенная. Рассмотрим две кривые и будем искать, как в , среди линий, проведенных в экстремали вариационной задачи о длине кривых, соединяющих точку

на с точкой на . Вводя те же обозначения и повторяя прог веденные там рассуждения, положим

и получим, что

откуда для первой вариации

Но

Полагая далее

получаем, что

Так как формам можно придать значения, пропорциональные всякой наперед заданной системе значений, то для того, чтобы интеграл равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при был равен нулю; это дает равенства

или, окончательно, так как

Эти уравнения показывают, что вектор перемещается параллельно самому себе (он даже стационарен) вдоль экстремали, которая, согласно определению (1,8), будет, таким образом, геодезической.

Наоборот, всякая геодезическая является экстремалью между парой своих точек в рассматриваемом нами случае. Если форма (1.1) не является определенной, то в существуют кривые нулевой длины (минимальные линии), которые, очевидно, дают минимум длины между

парой своих точек. Тем не менее мы их будем рассматривать как геодезические линии, только если они являются такими в смысле (1,8), т. е. если их касательная перемещается параллельно самой себе.

Вернемся к случаю геодезических, не являющихся минимальными линиями, когда система (2.1) запишется тогда в виде

Она допускает первый интеграл

В произвольной точке где мы можем предположить на геодезической, определенной равенствами уравнения (2.1) дают

Полагая теперь (геодезические координаты), имеем

Таким образом, можно, как в в некоторой окрестности точки (настолько малой, чтобы две различные геодезические имели в ней самое большее одну общую точку) взять в качестве: новых переменных (римановы координаты). При этом соответствующие величины и символы будут обозначены черточками. Уравнение геодезических в этой новой системе должно допускать в качестве интегралов каковы бы ни были если только Мы должны, следовательно, в силу уравнений, аналогичных иметь

это показывает, что в начале координат ковариантное дифференцирование сводится к обычному дифференцированию [формула (1.15) и аналогичные формулы]. Отсюда мы выводим, что

далее,

Непосредственно видно, что множество систем римановых координат в одной точке получается из одной такой системы аффинным преобразованием. В этом случае, как мы знаем, можно найти такую систему, что

Такая система координат называется нормальной.

Предположим теперь, что для величины имеют непрерывные частные производные в окрестности точки до порядка, достаточного, чтобы обеспечить в окрестности точки существование римановых координат. Если риманово пространство является аналитическим, то величины определенные формулой (2.4), аналитичны в окрестности также. Обратное также верно, так что мы в состоянии в этом случае решить проблему, поставленную в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление