Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21. Проективная группа.

Рассмотрим систему действительных чисел из которых не все равны нулю как аналитическую точку в аморфном -мерном проективном пространстве Две аналитические точки определяют одну и ту же геометрическую точку, когда

(если равно нулю, то тоже должно быть равно нулю, и наоборот). Аморфное проективное пространство есть множество этих геометрических точек.

Так как по условию не все равны нулю, то при например, соответствующую геометрическую точку можно определить, положив

Последовательность точек будет называться сходящейся к точке если существует такая последовательность чисел что при всех

Если, например, то начиная с некоторого значения значит, и мы можем тогда взять для определения геометрической точки т. е. Условие сходимости приводится к виду

а это — условие сходимости в пространстве

Мы скажем теперь, что множество точек таких, что

(где — заданная произвольная положительная постоянная образует (открытую) окрестность точки Мы определили тем самым некоторую топологию в и это определение показывает, что локально гомеоморфно (в частности, имеет размерность

Покажем, что пространство компактно. Заметим прежде всего» что можно нормировать координаты точки так, что

Пусть теперь последовательность точек, координаты которых нормированы предыдущим способом; существует значение для которого равенство имеет место бесчисленное множество раз; пусть для определенности

Из последовательности можно выбрать подпоследовательность, в которой для всех значений Предположим для упрощения обозначений, что это уже сделано. Тогда, поскольку из (21.1) имеем

то по теореме Больцано — Вейерштрасса мы можем выбрать из сходящуюся подпоследовательность.

Линейным многообразием измерений —1) называется множество геометрических точек, определенных уравнениями

где действительные переменные. При этом константы, такие, что матрица имеет ранг

Линейное многообразие измерений гомеоморфно пространству Линейное многообразие измерений (или гиперплоскость) определяется также уравнением вида

Линейное многообразие размерности 1, или прямая, определяется уравнениями

Можно также сказать, что точка прямой может определяться с помощью одного параметра который может принимать и значение соответствующее точке

В аморфном проективном пространстве вводим группу преобразований

с определителем

Это будут гомеоморфизмы пространства на себя. Пространство, снабженное этой структурой, называется проективным пространством а множество преобразований (21.3) — -мерной проективной группой Эта группа зависит от параметров. Если четное, то при изменении знака всех параметров определитель А меняет знак, но с геометрической точки зрения преобразование (21.3) не меняется, поскольку все координаты меняют знак; следовательно группа преобразований (21.3) связная. Этот факт выражают еще, говоря, что не ориентируемо для четного

Если нечетно, А не меняет знака при замене знака у коэффициентов и группа разбивается две связные компоненты. Та из них, которая содержит тождественное преобразование (единицу), соответствует определителю и образует подгруппу, рассмотрение которой будет для достаточно в общем случае; ее преобразования можно нормировать, положив Говорят, что ориентируемо для нечетного

С помощью преобразования проективной группы всякое линейное многообразие преобразуется в линейное многообразие той же размерности.

Группа есть группа дробно-линейных преобразований, действующих по одной переменной:

где постоянные,

Рассмотрим подгруппу группы (21.3), сохраняющую некоторую гиперплоскость, скажем, гиперплоскость Можно всегда допустить, что не принадлежащая ей точка координаты которой нормированы равенством преобразуется в точку мы имеем тогда и преобразования (21.3) приводятся к виду

Это аффинные преобразования, действующие в Таким образом:

Аффинное пространство получается из пространства если удалить из него точки одной гиперплоскости и рассматривать только? проективные преобразования, сохраняющие эту гиперплоскость

Говорят также, что можно, наоборот, получить пространство отправляясь от пространства и присоединяя к нему точки гиперплоскости, называемой бесконечно удаленной гиперплоскостью, и продолжая группу аффинитетов до группы, преобразующей всякое линейное многообразие в линейное-многообразие.

Группа действует транзитивно на множестве троек точек, лежащих на одной прямой, но не на множестве четверок таких точек. Пусть — четыре точки прямой (21.2), взятые в этом порядке соответствующие значения параметра величина

является инвариантом этой четверки точек, взятых в том же порядке, называемом их двойным, или ангармоническим, отношением.

Важное свойство проективного пространства связано с двойственностью (дуальностью).

Рассмотрим плоскость (21.2). Преобразование (21.3) преобразует ее в плоскость

где будут решениями уравнений

Назовем а координатами гиперплоскости (21.2); они определены с точностью до множителя, и всякой системе чисел кроме системы соответствует гиперплоскость.

Всякой плоскости соответствует, таким образом, взаимно однозначна точка проективного пространства С другой стороны, преобразования (21.5) образуют проективную группу в этом пространстве. Двойственность как раз и заключается в этом замечании. Действительно, отсюда следует, что всякому проективному свойству, относящемуся к множеству отвечает свойство, относящееся к множеству плоскостей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление