Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Тензорные произведения центро-аффинных пространств. Тензоры.

Мы определим новые геометрические объекты, исходя

из двух центро-аффинных пространств размерностей Мы сопоставим им пространство размерности называемое их тензорным произведением, введя в нем группу преобразований, являющуюся подгруппой центро-аффинной группы, изоморфной прямому произведению двух центро-аффинных групп

Пусть и два базиса контравариантных векторов соответственно в Тогда базисом контравариантных Векторов в будет по определению базис, составленный из всех пар которые мы запишем в виде

Каждой паре векторов

мы поставим в соответствие в вектор

называемый тензорным произведением этих двух векторов.

Непосредственно видно, что эта операция обладает следующими свойствами:

(k - константа).

Пусть (в обозначениях пункта 1)

— замены базисов в тогда

Полагая мы поставим в соответствие преобразованиям (2.4) замену базиса в а именно

Мы получаем таким образом группу преобразований, являющуюся подгруппой центро-аффинной группы. Эта группа и определяет структуру в

Тензором, построенным над пространствами называется теперь всякий контравариантный вектор пространства Это, следовательно, элемент вида

где произвольные числа, называемые координатами или компонентами тензора. Если после допустимой замены базиса вида (2.5) он будет иметь компоненты то

откуда

или

То, что мы проделали с двумя пространствами, может быть обобщено на любое конечное число центро-аффинных пространств Например, в случае трех пространств с базисами соответственно мы поставим этим базисам в соответствие в пространстве базис

и припишем этому пространству структуру с помощью формул

если

Тензором, построенным на пространствах называется всякий объект, определяемый лосредством чисел называемых компонентами или координатами тензора, таких, что при замене базиса переходят в новые координаты определяемые формулами

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление