Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Первая теорема Ли.

Существование относительных (или абсолютных) компонент для инфинитезимальных преобразований подвижного репера группы означает, что функции удовлетворяют некоторым уравнениям в частных производных (которые нет надобности выписывать); обратно, можно себя спросить, будет ли существование относительных (или абсолютных) компонент для инфинитезимального преобразования иметь следствием существование их и для множества преобразований, таких, как (3.1); но предварительно необходимо уточнить постановку проблемы.

Мы будем рассматривать теперь в некоторой окрестности на многообразии совокупность преобразований вида (3.1), где параметры пробегают окрестность точки пространства например начальной точки затем мы определим в этой точке инфинитезимальные преобразования посредством уравнений (3.3) и (3.3); мы будем предполагать, что операторы линейно независимы (в смысле, указанном в § 3). Вычислим теперь значения при помощи формул (3.6) и внесем их в дифференциал если при любом можно написать

где те же, что и выше, то мы скажем, что инфинитезимальные преобразования совокупности допускают относительные компоненты (аналогичные соображения можно высказать для абсолютных компонент). Чтобы увидеть, что вытекает из такой гипотезы, мы будем продвигаться по этапам.

1° Рассмотрим в многообразии семейство реперов получаемых из репера присоединенного к преобразованию которое соответствует началу пространства параметров и обратим внимание на два семейства реперов и содержащихся в семействе краткие записи для обозначения совокупности независимых переменных), и предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между реперами и определяемое преобразованием (принадлежащим или не принадлежащим семейству Т) таким

образом, что

или, что эквивалентно,

Мы имеем, следовательно, также

откуда

Положим теперь

равенство (4.2) запишется тогда в виде

это равенство показывает, что взаимно однозначное соответствие, рассматриваемое между устанавливает равенство относительных компонент реперов этих двух семейств.

Обратно, равенства (4.3) влекут за собой равенство (4.2), которое можно записать также в виде

это соотношение показывает, что есть фиксированное преобразование откуда и следует (4.1); мы получили, таким образом, следующую теорему, основную для дифференциальной геометрии, где изучение семейств реперов играет важную роль:

Чтобы фиксированное преобразование позволяло перейти от репера одного семейства к реперу другого семейства необходимо и достаточно, чтобы можно было найти взаимно однозначное соответствие между параметрами приводящее к равенству относительных компонент репера и репера

2° Если константы, то система

позволяет вычислить наложим еще на коэффициенты форм условие, обеспечивающее существование и единственность решения системы (4.4), скажем, в окрестности точки для определенности предположим, что коэффициенты всех являются аналитическими функциями параметров

В силу известных результатов из теории систем дифференциальных уравнений, в многообразии существует тогда такая

окрестность начала что для всякой точки и для всякой системы параметров нормированных посредством неравенства вида

где достаточно малое число, система (4.4) допускает одну, и только одну, интегральную кривую, содержащуюся в окрестности выходящую из точки а и определенную для значений параметра в сегменте эти кривые образуют окрестность начала; мы потребуем, кроме того, чтобы те кривые, которые выходят из начала и образуют, следовательно, окрестность этой точки, покрывали окрестность

3° Пусть теперь две точки окрестности существуют две системы констант и удовлетворяющие неравенству (4.5) и такие, что соответствующие интегралы системы определенные в интервале удовлетворяют условиям

Если исходить из точки , то система (4.4), где заменены на будет допускать решение положим точка принадлежит окрестности

Возвращаясь к преобразованиям Та и реперам мы поставим в соответствие реперу репер означают соответственно точки относительные компоненты реперов этих двух семейств равны; следовательно, в силу 1°, можно перейти от репера к реперу посредством преобразования, не зависящего от и совпадающего с тем, которое позволяет перейти от репера к пусть, например, мы имеем

Полагая мы пэлучим далее

что

Таким образом, произведение двух преобразований где принадлежат окрестности есть преобразование где с принадлежит окрестности

4° Отправляясь теперь от окрестности Жможно установить таким же образом существование окрестности начала такой

что произведение двух преобразований где принадлежат окрестности будет преобразованием где принадлежит окрестности отсюда следует, что произведение из 4) преобразований где все а принадлежат окрестности есть преобразование где принадлежит окрестности Можно повторять это рассуждение и определить окрестность начала, такую, что произведение из преобразований где все принадлежат окрестности , будет преобразованием где с принадлежит окрестности Такая совокупность преобразований образует ядро группы.

Таким образом, совокупность преобразований Та вообще не образует ядра группы, но если означает какое-нибудь преобразование совокупности, то образуют его; в частности, если совокупность содержит тождественное преобразование, то это — ядро группы. Можно, наконец, сформулировать первую основную теорему теории групп, принадлежащую Софусу Ли, в форме, которую ей придал Э. Картан:

Теорема. Чтобы непрерывное семейство преобразований, зависящих от конечного числа параметров, обладающее обратными, содержащее тождественное преобразование, было ядром группы, необходимо и достаточно, чтобы инфинитезималъное преобразование его подвижного репера обладало относительными компонентами.

Замечания. 1° Мы оперируем в окрестности одного преобразования совокупности Та и пользуемся только локальными результатами теории дифференциальных уравнений; вот почему в окончательной формулировке мы говорим только о ядре группы, а не о всей группе.

Чтобы можно было говорить о группе, следовало бы обеспечить возможность продолжения положений репера , а также преобразований Та: здесь вступают в силу вопросы глобальной теории, которые мы оставляем в стороне. Заметим, однако, что пространство группы Ли есть многообразие и что всякое преобразование группы получается перемножением конечного числа преобразований, принадлежащих некоторой окрестности тождественного преобразования.

2° Мы исходили из существования относительных компонент для смещений репера тот факт, что преобразования образуют ядро группы, показывает, что бесконечно малое смещение репера обладает также абсолютными компонентами. Мы видим, следовательно, что существование относительных компонент влечет существование абсолютных компонент; обратная теорема тоже верна; следовательно,

в предыдущей теореме можно заменить относительные компоненты абсолютными.

3° Пусть дано инфинитезимальных преобразований относительно которых мы знаем, что они являются инфинитезимальными преобразованиями группы; можно, следовательно, поставить задачу образования ядра группы.

Рассмотрим для этого дифференциальную систему

где обозначают произвольные константы; рассмотрим окрестность точки , где эта система допускает единственный интеграл определенный в интервале и принимающий при значения содержащиеся в окрестности многообразия Точке сопоставим точку мы имеем, таким образом, совокупность преобразований, зависящую от параметров и принадлежащую группе; они образуют, следовательно, ядро этой группы, так как содержат тождественное преобразование, получающееся при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление