Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Группа параметров.

Рассмотрим группу параметров (просто транзитивную), присоединенную к группе преобразований (3.1) и изоморфную ей, определяемую уравнениями (3.2), которые мы коротко запишем в виде

Если сохранять а фиксированным, то это соотношение показывает, что между и с существует взаимно однозначное соответствие, переводящее репер в репер мы имеем вследствие (4.3)

Но если заданы, то существует преобразование для которого имеет место соотношение (5.1), так как группа параметров транзитивна; уравнения (5.2) выражают, следовательно, предложение;

Линейные дифференциальные формы

инвариантны относительно преобразований группы параметров.

Поскольку эти формы независимы, всякая дифференциальная форма, линейная относительно может быть записана в виде

где все являются функциями от для того чтобы такая форма была инвариантна относительно группы, необходимо, чтобы для любых имело место

или, в силу (5.2),

что дает, поскольку формы со линейно независимы, т. е. что функции должны быть постоянными. Таким образом:

Всякая дифференциальная форма, инвариантная относительно преобразований группы параметров, является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами форм

Отсюда следует, что если рассматривать две группы преобразований, имеющих одну и ту же группу параметров, то относительные компоненты реперов второй группы будут линейными комбинациями с постоянными коэффициентами относительных компонент первой.

Выясним, наконец, каковы будут преобразования пространства параметров, которые оставляют форм инвариантными.

Рассмотрим для этого систему Пфаффа из уравнений относительно переменных

Через точку проходит интегральное многообразие размерности , где определяется посредством соотношения Эта система, следовательно, вполне интегрируема, и мы видим, что в этом случае (§ 3) через точку проходит одно, и только одно, интегральное многообразие измерений; при этом уравнение определяет только одну точку а, так как группа просто транзитивна; следовательно:

Всякое преобразование пространства параметров, оставляющее инвариантными формы есть преобразование группы параметров.

Замечание. Если обозначить буквой преобразование пространства параметров, которое переводит точку а в точку следовательно, то совокупность преобразований

образует вторую группу параметров; мы имеем аналогичные результаты, но уже с абсолютными компонентами вместо относительных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление